例談抽象函數問題的解決辦法

函數是高考數學中非常重要的一部分，是高中數學中的“重”中之“重”。抽象函數是函數中考核要求較高、難度較大的內容。從2000年開始，不論是全國卷還是地方卷都對學生提出了考查抽象函數的要求。那么，為什么抽象函數在高考中被如此重視？筆者認為高考中加大對學生理性思維能力的考查以及主體創新能力的考查是現在高考的一個重要特點。一般的抽象函數數學題融函數單調性、周期性、奇偶性、定義域、值域、圖像以及不等式、方程等知識于一體，通過賦值整體思考，找出一個具體函數原型等方法去探究該函數的性質，能運用相關性質去解決有關問題，對學生的綜合運用知識能力要求很高，因而，這類問題自然成為眾多命題者青睞的對象。

在實際的教學工作中一些教師常感覺到學生對這類問題無從下手，束手無策。其實，要想解決好這類撲朔迷離的抽象函數問題，首先應明確如下幾個問題：

什么是抽象函數？抽象函數與一般函數的有什么聯系？

什么是抽象函數呢？我認為那些沒有給出函數的具體解析式，只給出一些特殊條件或特征的函數均可稱為抽象函數。多數的抽象函數往往有它所對應的具體的函數模型。例如，（1）抽象函數f（x+y）=f（x）+f（y）可由一個特殊函數正比例函數f（x）=kx（k≠0）抽象而成；（2）抽象函數f（xy）=f（x）f（y）可由一個特殊函數冪函數f（x）=x 抽象而成；（3）抽象函數f（x+y）=f（x）f（y）可由一個特殊函數指數函數f（x）=a （a＞0，a≠1）抽象而成；（4）抽象函數f（xy）=f（x）+f（y）可由一個特殊函數對數函數f（x）=log x（a＞0，a≠1）抽象而成；（5）抽象函數f（x+y）= 可由一個特殊函數正切函數f（x）=tanx抽象而成，等等。當然，也有的時候并沒有我們比較熟悉的函數模型，而是新定義的一種函數。這些函數與我們熟悉的函數一樣，有其自己的性質，如奇偶性、周期性、單調性等，有自己的特殊點，有自己的對稱性，能畫出大致的示意圖像。面對抽象函數數學題，如果我們能明確這些，便能很容易地掌握其實質。

實際解題中，我們又該如何具體求解呢？筆者以為應該做到如下幾點：

一、合理賦值，直指目標

例1.若f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數，且對于一切a，b＞0，都有f（ ）=f（a）-f（b），則f（1）=_________。

解析：求f（1），容易想到與1有關的元素，不妨令a=b=1試試看：顯然有f（1）=f（1）-f（1）=0，這是其一。也可注意到 =1，故令a=b，也易求出。

例2.設定義在R上的函數f（x），若對于任意的二實數m，n都有f（m+n）=f（m）+f（n）+ ，且f（ ）=0，則f（1）=_________。

解析：解決本題思路很多，可考慮令m=n=1，但需研究f（2）的值；也可令m=0，n=1，但是又出現了一個與f（1）無關的式子，故也無法解決。但是若考慮到已知中的f（ ）=0，及1= + ，令m=n= ，問題便迎刃而解了。

例3.已知定義在R上的函數f（x）滿足：（1）值域為（-1，1），且當x＞0時，-1＜f（x）＜0；（2）對于定義域內任意的實數x，y，均滿足：f（m+n）= 。試回答下列問題：（Ⅰ）試求f（0）的值；（Ⅱ）判斷并證明函數f（x）的單調性。

分析：（Ⅰ）在f（m+n）= 中，令m＞0，n=0則有f（m）= ，化簡得：f（0）［（f（m）） -1］=0。因為f（x）的值域為（-1，1），所以［（f（m）） -1］≠0，所以f（0）=0。

（Ⅱ）函數f（x）的單調性必然涉及f（x）-f（y），于是，由已知

f（m+n）= ，我們聯想到：是否有f（m-n）= ？（*）這個問題實際上是：f（-n）=-f（n）是否成立？

為此，我們考慮函數f（-x）與f（x）的關系。由于f（0）=0，所以，在f（m+n）= 中，令n=-m，得f（m）+f（-m）=0，故函數f（x）為奇函數，從而（*）式成立。所以，f（m）-f（n）=f（m-n）［1-f（m）f（n）］。任取x ，x ∈R，且x ＜x ，則x -x ＞0，故f（x -x ）＜0且-1＜f（x ），f（x ）＜1。所以，f（x ）-f（x ）=f（x -x ）［1-f（x ）f（x ）］＜0，所以，函數f（x）在R上單調遞減。

可見，在解決此類抽象函數的求值問題或研究其奇偶性、單調性時，往往可采取賦值法。但是究竟賦一個什么樣的值，需要結合條件，合理選擇。

二、明確背景，類比猜測

例4.給出四個函數，分別滿足①f（x+y）=f（x）+f（y）；②g（x+y）=g（x）g（y）；③h（xy）=h（x）+h（y）；④t（xy）=t（x）t（y），又給出四個函數圖像：正確的匹配方案是（ ）。

甲 乙 丙 丁

（A）①—丁，②—乙，③—丙，④—甲

（B）①—乙，②—丙，③—甲，④—丁

（C）①—丙，②—甲，③—乙，④—丁

（D）①—丁，②—甲，③—乙，④—丙

解析：多數的抽象函數是由特殊的、具體的函數抽象而成的，在解決與此類問題有關的選擇題、填空題時，往往可以考慮所給問題的相關背景函數，直接類比即可。此題由條件①f（x+y）=f（x）+f（y）；②g（x+y）=g（x）g（y）；③h（xy）=h（x）+h（y）；④t（xy）=t（x）t（y）可分別聯想到正比例函數模型、指數函數模型、對數函數模型、冪函數模型，問題答案便手到擒來了。

例5.f（x）是定義在（0，+∞）函數，且對于一切a，b＞0，都有f（ ）=f（a）-f（b），且f（2009）＜0，則不等式f（x（x+6））＞f（27）的解集為_________。

解析：考慮到是填空題，對解題過程的嚴謹性要求不高，由性質f（ ）=f（a）-f（b），可聯想到對數函數y=log x；再由f（2009）＜0，可知0＜a＜1，即y=f（x）為（0，+∞）上的減函數。從而問題轉化為解不等式x（x+6）＜27。

總之，對這類問題，如果所給抽象函數與我們所學習的熟悉函數性質相同或相近，解題時可注意類比聯想，這對我們迅速分析解決此類問題有很大幫助。

三、緊扣性質，抓其本源

例6.設定義在R上的函數f（x）對于任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（1）=-2，當x＞0時，f（x）＜0。

（1）判斷f（x）的奇偶性，并加以證明。

（2）試問：當-2009≤x≤2009時，f（x）是否有最值？如果有，求出最值；如果沒有，說明理由。

（3）解關于x的不等式 f（bx ）-f（x）＞ f（b x）-f（b），其中b ≥2。

解：（1）令x=y=0，可得f（0）=0，令y=-x，則f（0）=f（-x）+f（x），∴f（-x）=-f（x），∴f（x）為奇函數。

（2）設-2009≤x ＜x ≤2009，y=-x ，x=x ，則f（x -x ）=f（x ）+f（-x ）=f（x ）-f（x ），因為x＞0時，f（x）＜0，故f（x -x ）＜0，即f（x ）-f（x ）＜0。

∴f（x ）＜f（x ）、f（x）在區間［-2009，2009］上單調遞減。

∴x=-2009時，f（x）有最大值，f（-2009）=-f（2009）=-f（2008+1）=-［f（2008）+f（1）］=-［f（2007）+f（1）+f（1）］=…=-2009f（1）=4018。

x=2009時，f（x）有最小值，f（2009）=-4018。

（3）由原不等式，得 ［f（bx ）-f（b x）］＞f（x）-f（b）。

即f（bx ）+f（-b x）＞2［f（x）+f（-b）］

∴f（bx -b x）＞2f（x-b），即f［bx（x-b）］＞f（x-b）+f（x-b）

∴f［bx（x-b）］＞f［2f（x-b）］

由于f（x）在x∈R上單調遞減，所以bx（x-b）＜2（x-b），∴（x-b）（bx-2）＜0。∵b ≥2，∴b≥ 或b≤- 。

當b＞ 時，b＞ ，不等式的解集為x| ＜x＜b；

當b＜- 時，b＜ ，不等式的解集為x|x＜b或x＞ ；

當b=- 時，不等式的解集為x|x≠ ，且x∈R；

當b= 時，不等式解集為Φ。

評析：本題綜合考查函數性質、不等式解法及分類討論等數學思想。本題中，若f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y），則f（x）是奇函數。這一命題在解決問題中起著較大作用。事實上，對于具有某些性質的抽象函數往往存在奇偶性：

（1）若函數y=f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y），則f（x）是奇函數；

（2）若函數y=f（x）滿足f（x）+f（y）=f（ ），則f（x）是奇函數；

（3）若函數y=f（x）滿足f（x+y）= ，則f（x）是奇函數；

（4）若函數y=f（x）滿足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），f（x）≠0，則f（x）是偶函數。

解題中如果能注意到并利用這些性質，將會起到事半功倍的效果。

總而言之，面對這類抽象函數問題時我們不妨改變心態，視其撲朔迷離、難以捉摸為新穎獨特、活潑有趣，是數學游戲中的“捉迷藏”。拿到此類問題，心中應該明確此類問題的解決無非是合理賦值，化抽象為具體，或作恒等變形，找出該函數規律性、特征性特點，找到其函數背景；復雜問題可作適當的分類討論，歸納出抽象函數的實質問題，則多數的問題便會不堪一擊，迎刃而解了。

參考文獻：

［1］管偉.抽象函數單調性證明技巧.數學教學研究，2007，（7）.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”