電磁感應中的“雙桿問題”例析

電磁感應中“雙桿問題”是學科內的綜合問題，涉及電磁感應、安培力、牛頓運動定律和動量定理、動量守恒定律及能量守恒定律等。學生只有綜合上述知識，認識題目所給的物理情景，找出物理量之間的關系后才能正確解題，因此是較難的一類問題，也是近幾年高考考查的熱點。下面對電磁感應中常見的“雙桿”類問題進行分類例析，供大家參考。

1.“雙桿”向相反方向做勻速運動

當兩桿分別向相反方向運動時，相當于兩個電池正向串聯。

【例1】兩根相距d=0.20m的平行金屬長導軌固定在同一水平面內，并處于豎直方向的勻強磁場中，磁場的磁感應強度B=0.2T，導軌上面橫放著兩條金屬細桿，構成矩形回路，每條金屬細桿的電阻為r=0.25Ω，回路中其余部分的電阻可不計。已知兩金屬細桿在平行于導軌的拉力的作用下沿導軌朝相反方向勻速平移，速度大小都是v=5.0m/s，如圖所示，不計導軌上的摩擦。

（1）求作用于每條金屬細桿的拉力的大小。

（2）求兩金屬細桿在間距增加0.40m的滑動過程中共產生的熱量。

解析：（1）當兩金屬桿都以速度v勻速滑動時，每條金屬桿中產生的感應電動勢分別為：E =E =Bdv，兩個電池正向串聯如圖所示，由閉合電路的歐姆定律，回路中的電流強度大小為：I= 。

因拉力與安培力平衡，作用于每根金屬桿的拉力的大小為F =F =BId。

由以上各式并代入數據得F =F = =3.2×10 N。

（2）設兩金屬桿之間增加的距離為△L，則兩金屬桿共產生的熱量為Q=I #8226;2r#8226; ，代入數據得Q=1.28×10 J。

2.“雙桿”同向運動，但一桿加速另一桿減速

當兩桿分別沿相同方向運動時，相當于兩個電池反向串聯。

【例2】兩根足夠長的固定的平行金屬導軌位于同一水平面內，兩導軌間的距離為L。導軌上面橫放著兩根導體棒ab和cd，構成矩形回路，如圖所示。兩根導體棒的質量皆為m，電阻皆為R，回路中其余部分的電阻可不計。在整個導軌平面內都有豎直向上的勻強磁場，磁感應強度為B。設兩導體棒均可沿導軌無摩擦地滑行。開始時，棒cd靜止，棒ab有指向棒cd的初速度v 。若兩導體棒在運動中始終不接觸，

求：（1）在運動中產生的焦耳熱最多是多少？

（2）當ab棒的速度變為初速度的 時，cd棒的加速度是多少？

解析：ab棒向cd棒運動時，兩棒和導軌構成的回路面積變小，磁通量發生變化，于是產生感應電流。ab棒受到與運動方向相反的安培力作用作減速運動，cd棒則在安培力作用下作加速運動。在ab棒的速度大于cd棒的速度時，回路總有感應電流，ab棒繼續減速，cd棒繼續加速。兩棒速度達到相同后，回路面積保持不變，磁通量不變化，不產生感應電流，兩棒以相同的速度v作勻速運動。

（1）從初始至兩棒達到速度相同的過程中，兩棒總動量守恒，有mv =2mv。

根據能量守恒，整個過程中產生的總熱量Q= mv- （2m）v = mv。

（2）設ab棒的速度變為初速度的 時，cd棒的速度為v ，則由動量守恒可知：mv =m v +mv 。

此時回路中的感應電動勢和感應電流分別為：E=（ v -v ）BL，I= 。

此時cd棒所受的安培力：F=BIL，所以cd棒的加速度為a= 。

由以上各式，可得a= 。

3.“雙桿”中兩桿都做同方向上的加速運動

“雙桿”中的一桿在外力作用下做加速運動，另一桿在安培力作用下做加速運動，最終兩桿以同樣加速度做勻加速直線運動。

【例3】（2003年全國理綜卷）如圖所示，兩根平行的金屬導軌，固定在同一水平面上，磁感應強度B=0.50T的勻強磁場與導軌所在平面垂直，導軌的電阻很小，可忽略不計。導軌間的距離l=0.20m。兩根質量均為m=0.10kg的平行金屬桿甲、乙可在導軌上無摩擦地滑動，滑動過程中與導軌保持垂直，每根金屬桿的電阻為R=0.50Ω。在t=0時刻，兩桿都處于靜止狀態。現有一與導軌平行、大小為0.20N的恒力F作用于金屬桿甲上，使金屬桿在導軌上滑動。經過t=5.0s，金屬桿甲的加速度為a=1.37m/s ，問此時兩金屬桿的速度各為多少？

解析：設任一時刻t兩金屬桿甲、乙之間的距離為x，速度分別為v 和v ，經過很短的時間△t，桿甲移動距離v △t，桿乙移動距離v △t，回路面積改變：

△S=［（x-v △t）+v △t］l-lx=（v -v ）l△t

由法拉第電磁感應定律，回路中的感應電動勢E=B ，回路中的電流i= ，

因此桿甲的運動方程F-Bli=ma。

由于作用于桿甲和桿乙的安培力總是大小相等，方向相反，所以兩桿的動量（t=0時為0）等于外力F的沖量Ft=mv +mv 聯立以上各式解得v = ［ + （F-ma）］，v = ［ - （F-ma）］。

代入數據得v =8.15m/s，v =1.85m/s。

4.“雙桿”在不等寬導軌上同向運動

“雙桿”在不等寬導軌上同向運動時，兩桿所受的安培力不等大反向，所以不能利用動量守恒定律解題。

【例4】（2004年全國理綜卷）圖中a b c d 和a b c d 為在同一豎直平面內的金屬導軌，處在磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向垂直于導軌所在平面（紙面）向里。導軌的a b 段與a b 段是豎直的，距離為l ；c d 段與c d 段也是豎直的，距離為l 。x y 與x y 為兩根用不可伸長的絕緣輕線相連的金屬細桿，質量分別為和m 和m ，它們都垂直于導軌并與導軌保持光滑接觸。兩桿與導軌構成的回路的總電阻為R。F為作用于金屬桿x y 上的豎直向上的恒力。已知兩桿運動到圖示位置時，已勻速向上運動，求此時作用于兩桿的重力的功率的大小和回路電阻上的熱功率。

解析：設桿向上的速度為v，因桿的運動，兩桿與導軌構成的回路的面積減少，從而磁通量也減少。由法拉第電磁感應定律，回路中的感應電動勢的大小E=B（l -l ）v①

回路中的電流I= ②

電流沿順時針方向。

兩金屬桿都要受到安培力作用，作用于桿x y 的安培力為

f =Bl I方向向上，③

作用于桿x y 的安培力為f =Bl I方向向下，④

當桿作勻速運動時，根據牛頓第二定律有F-m g-m g+f -f =0⑤

解以上各式得I= ⑥

v= R⑦

作用于兩桿的重力的功率的大小P =（m +m ）gv⑧

電阻上的熱功率P =I R⑨

由⑥⑦⑧⑨式，可得P = R（m +m ）g⑩

P =［ ］ R{11}

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”