導數在經濟管理中的應用

導數是微積分學的一個重要概念，本文就導數在經濟管理中的應用做初步討論。

1.邊際成本

經濟學的邊際成本定義為：增加一個單位產品引起總成本的變化。

因為總成本都是產量Q的函數，所以邊際成本在數學上可以表達為總成本的導數，即：

例1．設某企業總成本的函數，求邊際成本函數和產量件時的邊際成本。

解：邊際成本函數

產量件時的邊際成本元

產量件時的平均成本元

因為邊際成本4.7元低于平均成本28.6元，所以提高產量，有利于降低單位成本。

2.邊際收益

經濟學的邊際收益定義為：銷售一個單位產品引起總收益的變化。

因為總收益是產量Q的函數，所以邊際收益在數學上可以表達為總收益的導數，即：

例2．已知總收益函數，求邊際收益函數和時的邊際收益。

解：

產量件時的邊際收益

在產量為4這一水平上再增加或減少銷售一個單位，其收益增加或減少14。

3.彈性系數

經濟學的需求彈性是需求量變化率同價格變化率之比。設需求函數為，當價格有了變化時，需求量的改變量為，則就是需求量對價格的需求彈性，它的大小客觀地反映了需求量對價格改變的反應程度。

需求彈性雖然表達了商品需求對價格改變的反應的敏感程度，但對于具體的一點來說，它所表達的敏感程度不夠精確，因此我們取極限，就得到了點彈性為：

例3.設需求函數，求需求價格的點彈性函數，并求時的需求價格彈性。

解：

需求價格彈性函數為

時的需求價格彈性為

這說明了，當這種商品的價格在10元/件的水平時，價格上升1%，市場的需求量相應地下降0.5%。它精確地反映了該商品需求量對價格改變反應的敏感程度。

4.利用導數求極值的應用

例4.設某廠成本C關于產量Q的函數為:，收入函數為。問每批生產多少產品才能使利潤最大？

解：

令，得

因為，所以為極大值。

即每批生產160件產品，利潤最大。

5.結論

由上述分析得出：邊際成本函數是總成本函數對產量的導數；邊際收益函數是總收益函數對銷量的導數；點彈性函數就是在這一點上價格與需求量的比值，再乘以需求函數在這點的導數所得的積。

參考文獻：

[1]徐建豪劉克寧易風華辛萍芳:經濟應用數學.高等教育出版社，2003年9月第1版

[2]顧靜相鐘宜傅修文:經濟數學基礎.高等教育出版社，2000年7月第1版