基于馬爾可夫鏈的股價預(yù)測

[摘要] 在企業(yè)的生產(chǎn)、經(jīng)營、管理、決策等工作中，經(jīng)常會遇到這樣的情況：事物未來的發(fā)展及演變狀態(tài)僅僅受事物現(xiàn)狀的影響，而與過去的狀態(tài)無關(guān)，也就是具有馬爾可夫性。本文運用馬爾科夫理論預(yù)測股票價格，建立其隨機過程模型，使決策的長期效益趨于最優(yōu)，通過實例檢驗，證明了此模型的可行性和實用性。運用馬爾可夫過程理論，對未來股價走勢和股指未來的突破方向進行了研究，對其他預(yù)測方法作了有益的補充。

[關(guān)鍵詞] 馬爾科夫鏈 轉(zhuǎn)移概率 股票價格

一、馬爾科夫過程的概述

定義1設(shè)隨機序列{X(n)，n=0，1，2，…}的離散狀態(tài)空間為E0，若對于任意m個非負(fù)整數(shù)n1，n2，…，nm(0≤n1＜n2＜…＜nm)和任意自然數(shù)k，以及任意i1，i2，…im，j∈E滿足

(1)

則稱X(n)，n=0，1，2…}為馬爾科夫鏈。

在(1)式中，如果nm表示現(xiàn)在時刻，n1，n2，…，nm-1表示過去時刻， nm+k表示將來時刻，那么此式表明過程在將來nm+k時刻處于狀態(tài)j僅依賴于現(xiàn)在nm時刻的狀態(tài)im，而與過去m-1個時刻n1，n2，…，nm-1所處的狀態(tài)無關(guān)。(1)式給出了無后效性的表達式。

定義2 k≥1稱之為馬爾科夫鏈在n時刻的k步轉(zhuǎn)移概率，記為 pij(n，n+k)。

轉(zhuǎn)移概率表示已知n時刻處于狀態(tài)i，經(jīng)k個單位后過程處于狀態(tài)j的概率.轉(zhuǎn)移概率pij(n，n+k)是不依賴于n的馬爾科夫鏈，稱為時齊馬爾科夫鏈。這種狀態(tài)只與轉(zhuǎn)移出發(fā)狀態(tài)i、轉(zhuǎn)移步數(shù)k及轉(zhuǎn)移到達狀態(tài)j有關(guān)，而與n無關(guān)。此時，k步轉(zhuǎn)移概率可記為pij(k)，即

當(dāng)k=1時pij(1)稱為一步轉(zhuǎn)移概率，簡記為Pij。所有一步轉(zhuǎn)移概率pij組成的矩陣p1=(pij)稱為它在時刻m的一步轉(zhuǎn)移矩陣(i，j∈E)。所有n步轉(zhuǎn)移概率pij(n)。組成的矩陣Pn=(pij(n))稱為馬爾科夫鏈的n步轉(zhuǎn)移概率矩陣，其中:。設(shè){Xn，n∈T}為齊次馬爾科夫鏈，則

pn=p1p1(n-1)=p1n(n≥1)(2)

二、運用馬爾科夫鏈預(yù)測股票價格的步驟

運用馬爾科夫鏈預(yù)測股票價格的步驟：

第一步，馬爾科夫模型的建立；

第二步，構(gòu)造股票價格變化的分布狀態(tài)；

第三步，檢驗馬爾科夫性。

1.馬爾科夫模型的建立

利用股市的歷史資料，統(tǒng)計得出連續(xù)兩個時間段內(nèi)，前一時間段股價處于i區(qū)，后一時間段股價處于j區(qū)的概率pij(i，j∈E)，構(gòu)造一步轉(zhuǎn)移概率矩陣p1=(pij)。其中且

由(2)式知，k步轉(zhuǎn)移概率矩陣pk為：

pk=p1k（3）

記概率向量p(t)=(p1(t)，p2(t)，…，pn(t))T為第t個時間段股價的絕對概率向量，其中pi(t)表示第t個時間段股價處于第i(i∈E) 區(qū)的絕對概率，根據(jù)(3)式知，股價第t+k個時段(k∈T)的絕對概率向量

（4）

若給定初始概率向量則由上式可知t個時間段后的股價預(yù)測的馬爾科夫過程模型為:

（5）

因此，可在已知初始概率向量的情況下，對于任意時間段后股價所處的區(qū)間的概率分布做出預(yù)測。

2.運用馬爾科夫鏈預(yù)測樂山電力的價格變化趨勢

將這24個收盤價格劃分為4個區(qū)間（由低到高每區(qū)間1.0個價格單位），得到區(qū)間狀態(tài)為:i(10.5以下），j(10.5～11.5），k（11.5～12.5），ι(12.5以上），由以上資料得到這24個交易日的收盤價格狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況如下表:

由 可計算出各狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率矩陣:

由表1知，第24個交易日的收盤價為10.85 (即為j狀態(tài)區(qū)間），所以用馬爾科夫鏈進行預(yù)測時初始概率向量為:p(0)=(0，1，0，0)，由(3)式可計算出第24個交易日以后各天的股價。

由(3)式可得p(2)，p(3)…p(n)。由p(1)可知第25個交易日的收盤價處于j狀態(tài)區(qū)間的概率最大，這與實際情況11.01一致。

3.馬爾科夫性的檢驗

用Nij表示在(X1，X2，…Xn)中從狀態(tài)i經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的頻數(shù)，并將(Nij)n×n的第j列之和除以各行各列的總和所得到的值記為p·j，即

且

則當(dāng)n較大時，統(tǒng)計量服從自由度為(n-1)2的x2分布。選定了置信度α，查表得若則可以認(rèn)為Xt符合馬爾科夫性，否則認(rèn)為該過程不是馬爾科夫鏈。

經(jīng)檢驗，發(fā)現(xiàn)此過程確實符合馬爾科夫性。因此，針對我國股市受較多不規(guī)范因素的影響而表現(xiàn)出的隨機性，我們可以將馬爾科夫鏈引入上述方面，探討更加符合證券市場實際的投資策略。

三、結(jié)束語

本文用馬爾科夫鏈建立股票價格的數(shù)學(xué)模型，并用此模型預(yù)測了股票價格的波動情況，通過與實際資料對比發(fā)現(xiàn)，預(yù)測結(jié)果與之基本一致。由于馬爾科夫鏈有“無后效性”，所以在股票市場有效的條件下，比較客觀地刻畫股票價格的變化規(guī)律，從而達到相對準(zhǔn)確地預(yù)測股票價格的目的。希望能使投資者通過對本文的了解避免盲目和不理性的投資行為，采取科學(xué)的投資策略。

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[5]數(shù)據(jù)來源:大智慧股票分析軟件