淺談四類正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別法的比較

【摘要】級(jí)數(shù)理論是數(shù)學(xué)分析的重要組成部分，而正項(xiàng)級(jí)數(shù)又是級(jí)數(shù)理論中重要的組成部分，級(jí)數(shù)的收斂性更是級(jí)數(shù)理論的核心問(wèn)題，要想解決正項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和問(wèn)題必須先解決正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判斷。正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判斷的方法雖然較多，但使用起來(lái)仍有一定的技巧，歸納總結(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判斷的一些典型方法，比較這些方法的不同特點(diǎn)，總結(jié)出一些典型的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，根據(jù)不同的題目特點(diǎn)分析、判斷選擇適宜的方法進(jìn)行判斷，能夠最大限度的節(jié)約時(shí)間，提高效率，特別是一些典型問(wèn)題，運(yùn)用典型方法，才能事半功倍。

【關(guān)鍵詞】正項(xiàng)級(jí)數(shù);收斂;方法;比較

【中圖號(hào)】G642【文獻(xiàn)標(biāo)示碼】A【文章編號(hào)】1005-1074(2009)01-0076-01

1判別方法的比較

當(dāng)級(jí)數(shù)含有具體數(shù)字且可化為含參數(shù)的一般式、通項(xiàng)為等差、等比式或通項(xiàng)為含二項(xiàng)以上根式的四則運(yùn)算且通項(xiàng)極限無(wú)法求出時(shí)，可以選用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的充要條件進(jìn)行判斷。如：

1＋12+13+…1n+…

取0＜ε0＜12，n，若令p=n

Sn+p-Sn=1n+1+1n+2+…+12n＞12n＋…12n＝12＞ε0，級(jí)數(shù)發(fā)散

當(dāng)級(jí)數(shù)表達(dá)式型如1f(x)，f(x)為任意函數(shù)、級(jí)數(shù)一般項(xiàng)如含有sinθ或cosθ等三角函數(shù)的因子可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，并與幾何級(jí)數(shù)、P級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù)進(jìn)行比較、limn→+∞un+1un、limn→∞nun不易算出或limn→+∞un+1un＝1、limn→∞nun=1等此類無(wú)法判斷級(jí)數(shù)收斂性或進(jìn)行有關(guān)級(jí)數(shù)的證明問(wèn)題時(shí)，應(yīng)選用比較判別法。

當(dāng)級(jí)數(shù)含有階層、n次冪，型如a!或an或分子、分母含多個(gè)因子連乘除時(shí)，選用比式判別法。當(dāng)通項(xiàng)含(-1)n與f(x)的函數(shù)可以選用比式判別法極限形式判斷，例：

42+4.72.6+4.7.102.6.10+…limn→∞un+1un=limn→∞3n+44n+2=34＜1

級(jí)數(shù)∑4.7.10…(3n+4)2.6.10…(4n+2)收斂

當(dāng)級(jí)數(shù)含有n次冪，型如an或f(x)n或通項(xiàng)un=1n1npn即分母含有含1nx的函數(shù)，分子為1時(shí)，級(jí)數(shù)含有多個(gè)聚點(diǎn)，選用根式判別法，但需要注意若通項(xiàng)含∑1(1nn)n時(shí)，不能使用根式判別法，因?yàn)閘imn→∞11nn不存在。例如：∑∞n=1〔n2n+1〕n;limn→∞nun=limn→∞n2n+1=12級(jí)數(shù)收斂

一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)選用根式判別法無(wú)法判斷時(shí)，我們也可以選用比式判別法來(lái)判斷，但有時(shí)候我們只能用根式判別法而不能使用比式判別法。例如：1+b+bc+…+bncn+…(0＜b＜c)limn→∞2n-1bn-1cn-1=bc；limn→∞2nbncn=bcbc＞1，級(jí)數(shù)發(fā)散；bc＜1，級(jí)數(shù)收斂；bc＝1，原式=1+b+1+b+…級(jí)數(shù)發(fā)散un+1un=bn為奇數(shù)

cn為偶數(shù)

lim———n→∞un+1un=c，c＞1級(jí)數(shù)收斂;limn→∞un+1un=b＞1級(jí)數(shù)發(fā)散無(wú)法判斷斂散性。

2總結(jié)

級(jí)數(shù)理論是數(shù)學(xué)分析的重要組成部分，在實(shí)際生活中運(yùn)用較廣泛。而正項(xiàng)級(jí)數(shù)又是級(jí)數(shù)理論中重要的組成部分，級(jí)數(shù)的收斂性更是級(jí)數(shù)理論的核心問(wèn)題，要想解決正項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和問(wèn)題必須先解決正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判斷。正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判別法也可用于判定負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及變號(hào)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性，也可以推廣到傅立葉級(jí)數(shù)的斂散性判別，在復(fù)變函數(shù)中也可以用于判定級(jí)數(shù)在復(fù)平面上的斂散性和收斂半徑。

3參考文獻(xiàn)

[1]吳良森，等.數(shù)學(xué)分析習(xí)題精解[M].北京：科學(xué)出版社，2002

[2]周應(yīng).數(shù)學(xué)分析習(xí)題及解答[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2001

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。