極限思想方法中學數學中的運用

【摘要】極限是數學中最基本、最重要的概念，它從數量上描述變量在無限變化過程中的變化趨勢。極限思想在中學數學教育中應該占有一席之地，本論文希望通過對高中生極限概念的認知學習研究，了解高中生對極限的認知狀況，為實際教學中如何有針對性的幫助學生建立正確的極限概念和培養學生的極限思想提供參考。

【關鍵詞】極限思想方法;中學數學;認知

【中圖號】G642【文獻標示碼】A【文章編號】1005-1074(2009)01-0093-01

1現行高中教材中所給出的極限思想方法特征

“強調本質，注意適度形式化”是《新課標》所倡導的數學課程的一個基本理念。高中數學課程應該返樸歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質.數學課程要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學生自主探索活動，使學生理解數學概念和結論逐步形成的過程，體會蘊涵在其中的思想方法，追尋數學發展的歷史足跡，把數學的學術形態轉化為學生易于接受的教育形態。其后關于微積分課程的設計，《新課標》的定位是用導數反映的變化率思想研究初等函數的性質，其關鍵在于不以一般極限理論作為鋪墊，直接從變化率引入導數，當需要極限時再直觀認識。避開形式化極限思想方法而突出變化率是《新課標》微積分課程設計的核心，也是這次高中數學課程改革力度較大的地方之一，其目的在于降低形式化極限思想方法給學生帶來的學習困難。

2極限思想方法中學數學中的運用策略

2.1介紹極限思想和其發展史，揭示知識的產生發展過程極限思想方法是高中教材中極限部分的基礎，也是后續內容(微積分)的基礎。對高中生講極限，并不是大學極限內容的簡單下放，而是重在講思想方法，讓學生掌握一個工具，為他們用更高的觀點、更一般的方法去解決中學數學的一些問題做準備。因此，在教授時，力求深入淺出，突出思想方法。

2.2采用“替代概念”，淡化概念的抽象性和嚴謹性由于高中學生比較難以嚴格地理解極限思想方法，所以定義要求比較淺易，但又要結合內容讓學生體會其中的數學思想和方法。關于極限思想方法，在高中階段可以采取兩種方式：其一，不提及任何形式的定義，只是讓學生在具體實例中逐步體會其內涵；其二，僅僅給出它的描述性定義。教材對極限思想方法是描述性的，即所謂的“替代概念”—一種符合高中生認知水平的、淺顯的、但是又蘊含了極限思想方法的概念形式，雖然對學生更深刻地理解極限思想方法有一定影響，但是，這樣大大降低了概念的認知難度，還可以通過這種對極限思想方法粗淺的認識，來學習極限的思想—我們認為是用一種無限的變化過程來研究有限的思想。建議教材在極限章節中可以適當補充極限的應用例子，例如，在講球體積和表面積公式的推導時，所用的“分割，求和，取極限”的方法正是極限的一個具體應用。

2.3滲透極限思想方法于高中課程的始終，逐步消除錯誤概念極限思想的應用實際上從小學數學中就有所體現，它滲透在整個中小學數學的始終，因此將極限的所有內容集中安排在一個學期學習的做法不可取。

極限思想方法是一個特殊問題，那就是它與有限空間的思維發生沖突，教“三角形的中線交于一點”時，只要仔細作圖，學生就能從圖上并接受這一現實，但是教“0.9=1”時，教師就不能保證學生接受這一現實，這就需要留時間給學生更多的建構和練習。

因此，對極限思想方法的學習和認知要做好循序漸進，在學生原有概念的基礎上引出新概念，在學習新概念的同時也逐步消除錯誤概念。

3極限思想方法中學數學中的運用案例

3.1球的表面積公式《全日制普通高級中學教科書（必修）數學》第二冊（下）第九章“直線、平面、簡單幾何體”中，對球的表面積公式進行了推導。

3.1.1分割把球O的表面分成n個小網格，設它們的表面積分別是Δs1，Δs2，……，Δsn，則球的表面積S=Δs1+Δs2+……+Δsn。把球心O和各小網格的頂點相連，則整個球體被分割成n個“小錐體”，每個“小錐體”的底面是球面的一部分。

3.1.2求近似和設n個“小錐體”的體積分別是Δv1，Δv2，……，Δvn則球的體積V=Δv1+Δv2+……+Δvn。當每個網格都很小時，“小錐體”的底面接近平面形狀，“小錐體”接近小棱錐。設這些小錐體的高分別為h1，h2，……，hn，底面積分別為Δs1'，Δs2'，……，Δsn'，則V≈ 13（h1Δs1'+ h2Δs2'+……+hnΔsn'）。①

3.1.3化為準確求和使分割無限加細，即無限變大，則“小錐體”無限接近小棱錐，小棱錐的高hi(i=1，2，3，……，n)都趨向于球的半徑R，小棱錐的底面積

Δsi'分別趨向于球面積的一部分Δsi'(i=1，2，3，……，n)。這時由①式有V=13（RΔs1'+ RΔs2'+……+RΔsn'）=13R（Δs1'+ Δs2'+……+Δsn'）=13RS②由②式及體積公式有43πR3=13RS∴S=4πR2

整個推導過程蘊涵著許多極限的知識和思想方法，只是針對學生的知識基礎和接受能力，沒有把極限的相關知識展現出來。

3.2雙曲線的漸近線在雙曲線的幾何性質中，用探索的方式，“由學生自己動手用幾何畫板畫雙曲線x29-y24=1，在位于第一象限的曲線上畫一點M，測量點M的橫坐標xm以及它到直線x3-y2=0的距離d，沿曲線向右上角拖動點M，觀察xm與d的大小關系，你發現了什么？學生通過操作，直觀感受，在右上角拖動點

M時，xm（無限）增大，d逐漸減小，（無限）趨于零。也即雙曲線x29-y24=1在第一象限與直線x3-y2=0隨著xm的（無限）增大而無限接近，但永不相交。”仿照上面的作法，我們就可以得到雙曲線x29-y24=1在其他三個象限與直線x3±y2=0的接近情況。這樣雙曲線的圖像就更加規范，準確，而且迅速。為解題提供了方便。也使我們利用有限的圖形了解到無限。下面給出利用極限的方法求雙曲線的漸近線方程。例1求雙曲線x225-y216=1的漸近線方程。解：雙曲線方程可化為：y=±45x2-25漸近線的斜率a=limx→∞f(x)x=limx→∞±x2-25x=±45在y軸上的截距b=limx→∞[f(x)-ax]=limx→∞±45(x2-25-x)=0故所求的漸近線方程為：y=±45x

4結論

由于目前學校教學一般都偏重程序技能和算法，而忽視了起重要作用的概念的理解。通過對極限思想方法的認知的研究，有助于我們更好地理解學生們在學習中面臨的困難，理解在解決其中某些困難時遇到的阻力、以及我們的教學實踐的局限和不足。

5參考文獻

[1]張燕.關于高等數學中極限求解的若干方法[J].石家莊法商職業學院教學與研究，2008，(01)

[2]樊紅云.極限論在中學數學中的應用[J].長春師范學院學報(自然科學版)，2008，(06)

[3]張興隆.高等數學中數列極限概念教學淺析[J].數學學習與研究(教研版)，2008，(04)

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