關于運用黎卡提（Ｒｉｃｃａｔｉ）微分方程特解求通解問題

【摘要】本文主要介紹了黎卡提（Riccati）微分方程運用特解來求解方程通解的幾種特殊情形，即通過特解個數的變化來求解出方程的通解。

【關鍵詞】黎卡提（Riccati）；微分方程；伯努利方程；特解；通解

【中圖號】S777【文獻標示碼】A【文章編號】1005-1074(2009)01-0146-02

1引言

若一階微分方程可寫成如下形式：

dydx=P(x)+Q(x)y+R(x)y2(1)

其中P（x），Q(x)，R(x)在區間I上連續，且R（x）≠0，則方程（1）叫做黎卡提（Riccati）微分方程。

劉維爾在1846年證明出了少數情形外，它的解不能用初等函數的有限次積分以及有限次代數運算得到。但作為黎卡提（Riccati）微分方程的特殊情形，包含著以下幾種可求解的情形。

當P（x），Q(x)，R(x)為常數時，方程（1）可化為變量分離方程

dyay2+by+c=dx

這里a，b，c是常數。

當R（x）=0時，方程（1）化為線形方程

dydx=P(x)+Q(x)y

當P（x）=0時，方程（1）化為伯努利方程

dydx=Q(x)y+R（x）y2

黎卡提（Riccati）微分方程的一個重要特點就在于，當已知方程的特解時，就可以比較容易地求出其通解。

本文主要介紹了在已知特解的情形下來求解黎卡提（Riccati）微分方程的通解。

2主要定理的證明及應用

定理1 已知方程（1）的一個特解y1，則方程（1）可化為伯努利方程來求解，其通解為

1y-y1=e∫（Q+2Ry1）dx〔∫Re-∫(Q+2Ry1)dxdx+c〕.

證明 由題設知y1為特解

作變換y=y1+u，(其中u是關于自變量x的新的未知函數)

則有y'=y'1+u'，代入（1）中得

y'1+u'=P(x)+Q(x)(y1+u)+R(x)(y1+u)2

整理即得

u'=R(x)u2+［Q(x)+2R(x)y1］u-y'1+R(x)y12+Q(x)y1+P(2)

而y1為（1）的特解，有

y'1=R(x)y12+Q(x)y1+P(x)

故（2）式整理得

u'=R(x)u2+［Q(x)+2R(x)y1］u (3)

(3)式是關于u的一伯努利方程，可解。

令v=1u，代入（3）式中化簡即得

dvdx=［Q(x)+2R(x)y1］v+R(x)

對上式運用積分公式解的通解為

1y-y1=e∫（Q+2Ry1）dx〔∫Re-∫(Q+2Ry1)dxdx+c〕.

例1 求解下列黎卡提（Riccati）微分方程

dydx+x-2x-x2y+1x2-x3y2=0

已知y1=x為其特解。

解 由于y1=x是方程的特解，根據上面定理1，其通解公式為

1y-y1=e∫（Q+2Ry1）dx〔∫Re-∫(Q+2Ry1)dxdx+c〕.

故得到

1y-x=e∫(x-2x-x2+21x2-x3x)dx［∫1x2-x3e-∫(x-2x-x2+21x2-x3x)dxdx+c］化簡得

（y-x）(cx+1)=x(x-1)為方程的通解。

定理2 若已知方程（1）的兩個特解y1，y2(y1≠y2)，則方程（1）僅用一次積分就能求解，其通解為

1y-y1=e∫（Q+2Ry1）dxc+1y2-y1.

證明 已知兩特解為y1，y2(y1≠y2)，設y=y1+u，

由定理1的證明過程可得到

v=1y-y1

v'=［Q(x)+2R(x)y1］v+R(x)(4)

又由假設得1y1-y2是方程（4）的特解。

一方面因為此方程是線性的，所以方程（1）的通解只要由v'-［Q(x)+2R(x)y1］v=0的通解加上一個特解即可。故方程（1）僅用一次積分即可求解。

而v'-［Q(x)+2R(x)y1］v=0的通解為

v=e∫(Q+2Ry1)dxc

即1y-y1=e∫（Q+2Ry1）dxc

所以方程(1)的通解為

1y-y1=e∫（Q+2Ry1）dxc+1y2-y1.

例2 求解下列黎卡提(Riccati)微分方程

dydx+x-2x-x2y+1x2-x3y2=0

已知y1=x，y2=0為其特解.

解 由題意y1=x，y2=0為方程的特解，根據上面定理2，其通解公式為

1y-y1=e∫（Q+2Ry1）dxc+1y2-y1.

即得1y-x=e∫（x-2x-x2+21x2-x3x）dxc-1x.

化簡即有

1y-x=cx-1-1x

所以y(x-1)=c(y-x)x為方程的解.

定理3 若已知方程(1)的3個互異特解y1，y2，y3則不需要積分計算就能求得其通解，其通解為

y3-y1y3-y2=y-y1y-y2C.

其中C為任一常數.

證明 由定理1中黎卡提(Riccati)方程之解法所示的通解

1y-y1=e∫（Q+2Ry1）dx〔∫Re-∫(Q+2Ry1)dxdx+c〕.

令右邊e∫（Q+2Ry1）dx=h(x)，∫Re-∫(Q+2Ry1)dxdx=g(x)

即1y-y1=h(x)g(x)+h(x)c

所以 y=h(x)y1c+h(x)g(x)y1+1h(x)c+h(x)g(x)

又令h(x)y1=f1(x)，h(x)g(x)y1+1=f2(x)，h(x)=f3(x)，h(x)g(x)=f4(x)，

故 y=cf1(x)+f2(x)cf3(x)+f4(x) (a)

乃是關于常數C的一次分數函數。

又設c1，c2，c3為對應于上式特解y1，y2，y3

故有 y=cif1(x)+f2(x)cif3(x)+f4(x)(i=1，2，3) (b)

由（a）和(b)式消去f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)得到

y3-y1y3-y2/y3-yy3-y=c3-c1c3-c2/c3-cc3-c

而其中c，c1，c2，c3均為任一常數，故令

c3-c1c3-c2/c3-cc3-c=C (C為任一常數)

對y求解即得到方程（1）的通解

y3-y1y3-y2=y-y1y-y2C.

例3 求解下列黎卡提（Riccati）微分方程

dydx+x-2x-x2y+1x2-x3y2=0

已知y1=0，y2=x，y3=x3為其特解。

解 由已知條件得y1=0，y2=x，y3=x3為方程的特解，根據定理3，不用積分便可求得方程的通解，其通解公式為

y3-y1y3-y2=y-y1y-y2C.

以代入y1=0，y2=x，y3=x3并對y求解得到

x2-0x2-x=y-0y-xC

即得（y-x）x=y(x-1)C為方程的通解。

4參考文獻

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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。