無漂移算術布朗運動下股指期貨套期保值連續(xù)出清策略

唐衍偉，陳 剛，劉喜華

(青島大學經濟學院，山東 青島 266071)

1 引言

在出清資產時，交易員不僅要考慮收益和風險，還要面對市場和自身的不確定性。股指期貨套期保值涉及股票市場和股指期貨市場，一般情況下，這兩種資產是高度正相關的，而通過套期保值的反向操作則構造了兩種高度負相關資產。對于已進行套期保值的股票現(xiàn)貨，在出清股票頭寸時，為了避免現(xiàn)貨頭寸風險暴露過大，應該保持現(xiàn)貨與期貨出清量以套期保值比例同步，從而確保持有頭寸可以時時通過期貨套期保值達到規(guī)避市場總體風險的目的。期貨采用保證金交易制度，在進行期貨出清時，衡量的是最終實現(xiàn)的出清成本，而不需要考慮其杠桿效應，而且股指期貨可以認為是股票指數的近似替代，因此，可以將股票與股指期貨同步出清問題納入投資組合的框架下進行研究。

國外出清策略研究主要有：Lawrence和Robinson[1]利用均值-方差理論，通過融合市場風險的最優(yōu)資產出清策略；Jarrow和Subramanian[2]引入流動性折扣因子和交易執(zhí)行滯后時間函數，假定變現(xiàn)時間和出清量是外生給定的，通過最大化資產出清收益來決定持有期限，推導出最優(yōu)資產出清策略；Bertsimas和Lo[3]采用隨機動態(tài)規(guī)劃法推導了最大化出清收益條件下的買入大部位投資組合的動態(tài)交易策略，證明了在市場沖擊和交易量存在線性關系、資產價格過程是隨機游走過程時，以一個常速率出售資產是最優(yōu)選擇；Almgren和Chriss[4-5]假定市場沖擊分為瞬時沖擊和永久沖擊且都是線性的，通過均值-方差理論，提出了推導資產最優(yōu)出清策略的框架，并提出融合流動性風險的VaR方法，研究表明最優(yōu)執(zhí)行策略是時間的雙曲正弦和雙曲余弦的線性組合形式；Huberman和Stanzl[6]在投資者的效用函數中引入執(zhí)行成本的方差，利用隨機動態(tài)規(guī)劃方法實現(xiàn)最優(yōu)策略的求解；Berkowitz[7]從需求彈性入手，用向下傾斜的需求曲線表示變現(xiàn)活動對市場價格的沖擊，假定變現(xiàn)時間是外生變量，得到最優(yōu)策略；Almgren[8]在沖擊函數為多項式時，討論了變現(xiàn)時間為可變時的最優(yōu)變現(xiàn)策略；Dubil[9-10]延伸了Almgren和Chris[4]提出的模型來確定最終的出清期，假定交易以恒定速率進行，市場沖擊函數為廣義冪指數和與價格線性相關兩種形式；M?[11]在考慮日內市場流動性特性，采用指數價格沖擊函數，建立了投資者指令重建的大部位投資組合的最優(yōu)資產出清策略；Subramanian[12]在投資者風險偏好和資產價格運動的廣泛假設下，建立了大宗資產投資者出清問題的優(yōu)化模型，并證明大宗資產投資者在具有較強效用函數時能得到最優(yōu)出清策略。Kim和Boyd[13]考慮時間不均勻線性價格沖擊與波動、流動性與波動周期情況下，建立持有頭寸預期資產價值與收益方差最大化的連續(xù)出清問題，通過求解第二類Fredholm積分方程或TPBVP問題求得出清軌跡。

國內研究主要有：林輝[14]在收益率為正態(tài)分布，相對價差和中間價格相互獨立的前提下，研究了La-VaR模型，并將確定性等價效用和風險偏好引入多期La-VaR模型，采用勻速率出清逼近的方法，得到最優(yōu)出清策略和La-VaR；胡小平[15]假定價格沖擊函數為線性和隨機，資產價格服從幾何布朗運動，考慮離散和連續(xù)出清的情況，運用動態(tài)規(guī)劃方法得到最優(yōu)出清策略。儲小俊等[16]對價格沖擊模型作了一般性拓展，在交易對價格的影響為更接近于市場一般情況的隨機、非線性價格沖擊，建立了隨機非線性價格沖擊模型；以投資者的頭寸變化作為交易策略的反映，結果表明在隨機條件下考慮非線性價格沖擊時，投資者的變現(xiàn)速度明顯地受到限制，在變現(xiàn)期的絕大部分時間內以恒定速度變現(xiàn)，同時對最優(yōu)策略進行了參數的敏感性分析：價格波動系數、風險厭惡系數越大，則前期變現(xiàn)速度越大、資產頭寸減少越快；價格沖擊系數、及瞬時價格沖擊波動率的增加，變現(xiàn)頭寸的減少越接近于直線的形式；劉宣會等[17]將隨機LQ控制模型推廣到系統(tǒng)狀態(tài)為跳躍-擴散過程的隨機LQ模型,采用隨機Lagrange方法得到最優(yōu)反饋控制,然后運用該框架去處理數理金融中的套期保值問題,最后得到了最優(yōu)套期保值策略；唐衍偉等[18]假定股票和期貨服從有漂移項的算術布朗運動，投資者效用為均值-方差形式，價格沖擊為線性，在離散時間框架下，求解單只股票與股指期貨套期保值同步出清問題，得到出清軌跡。

本文在Almgren和Chriss[4-5]研究框架下納入期貨套期保值，保持出清期間內套期保值比不變，假定資產價格服從無漂移項的算術布朗運動、永久和暫時價格沖擊均為線性的情況下，研究單只股票與股指期貨同步連續(xù)出清問題。

2 套期保值變現(xiàn)問題

考慮一名投資者在初始零時刻持有一種證券的頭寸為X，計劃在T時間內連續(xù)賣出全部股票，投資者在持有期第T個交易日結束時持有股票頭寸為0。

定義在t時刻，t∈[0,T]，投資者持有的頭寸為x(t)，證券的價格為St，則有：

x(0)=X,x(T)=0

(1)

變現(xiàn)速度為：

(2)

假設市場價格運動缺乏趨勢性，認為市場價格服從如下無漂移項的幾何布朗運動：

dS=SσdW(t)

(3)

dS=σdW(t)

(4)

投資者變現(xiàn)交易引起的對市場不利影響分為永久沖擊與瞬時沖擊。所謂的永久沖擊是指投資者的變現(xiàn)交易 (賣) 對市場價格的不利影響一直持續(xù)整個變現(xiàn)期[0,T]，而瞬時沖擊只是在時間(t-dt,t)使內投資者的實際成交價格偏離市場的均衡價格。永久沖擊響應和瞬時沖擊響應都是變現(xiàn)速度的函數，考慮線性沖擊響應：

(5)

由Almgren和 Chriss[5]知，由于永久沖擊響應的存在，市場價格運動中漂移項變?yōu)?g(v(t))，市場價格變?yōu)椋?/p>

(6)

由于瞬時沖擊響應h(v(t))的存在，投資者真正實現(xiàn)的交易價格為：

(7)

投資者的執(zhí)行成本為：

(8)

其中：

(9)

將(9)代入(8)：

(10)

因為：

(11)

(12)

EC的數學期望為：

(13)

EC的方差為：

(14)

同理，假定股指期貨價格服從如下算術布朗運動：

dSf=σfdW(t)

(15)

市場的永久沖擊系數和暫時沖擊系數分別為γf>0、ηf>0，套期保值的交易方向同股票交易方向相反，若股票為賣出變現(xiàn)，則期貨為買入變現(xiàn)。

為了保持股票和期貨的同步，股票和期貨頭寸應按套期保值比φ進行同步變現(xiàn)：

(16)

期貨執(zhí)行成本為：

(17)

股指期貨套期保值股票和期貨同步執(zhí)行成本為：

(18)

因此，執(zhí)行成本的期望和方差可分別求得為：

(19)

式中，ρ為股票和期貨價格的相關系數，由于股票和期貨的操作方向相反，因此在計算方差時ρ取負號，φ為套期保值比。

令

(20)

上式可寫為：

(21)

3 變現(xiàn)策略求解

投資者選擇策略(x(t),v(t))，使得下式取最小值：

U=E(EC)+λV(EC)

(22)

λ是資者的風險偏好，λ<0時，投資者偏好風險；當λ=0時投資者風險中性；當λ>0時，投資者風險厭惡。以下僅討論風險厭惡的理性投資者。

令:

(23)

則x*(t)最小值使得U取得最小值，等價于x*(t)使得指標泛函J(x(t))取得最小值。

令:

(24)

為使J(x(t))取得最小值，F(xiàn)(x(t))應滿足如下形式的歐拉方程：

(25)

(26)

將式(24)代入上式并化簡得到：

(27)

當λ>0時，利用邊界條件x(0)=X，x(T)=0可得方程(27)的通解為：

(28)

期貨出清軌跡為xf(t)=φx(t)。

4 參數分析

投資者初始持有股票頭寸為x(0)=X=107股，計劃在T=5天內出清，股票的方差為σs=0.045，永久沖擊系數為：γs=4.5×10-7，暫時沖擊系數為：ηs=1.50×10-7，股指期貨的方差為σf=0.025，永久沖擊系數為：γf=2.5×10-8，暫時沖擊系數為：ηf=5.5×10-8，套期保值比為φ=0.5，股票和期貨相關系數為ρ=0.8，假定投資者的風險厭惡系數為λ=10-4，參數計算結果如下表：

表1 出清參數計算

(一)風險厭惡系數對出清軌跡的影響

當風險厭惡程度較大時，投資者傾向于在出清初期出清較大規(guī)模的頭寸，以降低后期的風險，而當風險厭惡程度較小時，投資者傾向于更小的出清頭寸，也更接近勻速率出清，如圖1所示。

圖1 不同風險厭惡程度的出清軌跡

圖2 不同組合標準差的出清軌跡

(二)組合標準差對出清軌跡的影響

組合標準差越大，則出清軌跡下移，投資者在出清初期更傾向于出清更多的頭寸以降低波動風險；當組合標準差變小，出清軌跡上移，投資者更傾向于更緩慢出清，如圖2所示。

(三)相關系數不變，不同套期保值比的出清軌跡

(1)ρ=0時或φ=0時，出清過程退化為不考慮期貨套保的情況，即純粹的股票出清；

(2)當ρ>0且φ>0，隨套期保值比的增加，出清軌跡向上移動，即隨套期保值比的增加，每次的出清量逐漸減少，投資者更傾向于緩慢的出清過程，如圖3所示。

(3)當ρ<0且φ>0，隨套期保值比的增加，出清軌跡向下移動，即隨套期保值比的增加，每次的出清量逐漸增加，投資者傾向于更快速的出清過程，如圖4所示。

圖3 ρ=0.8時不同套期保值比的出清軌跡

圖4 ρ=-0.8時不同套期保值比的出清軌跡

(四)套期保值比不變，不同相關系數的出清軌跡(圖5)

(1)當φ>0且ρ>0，隨相關系數的增加，出清軌跡向上移動，即隨相關系數的增加，每次的出清量逐漸減少，出清量與相關系數呈反向變化，且隨套期保值比的增加，其差異越大。

(2)ρ<0時，φ>0，隨相關系數的增加，出清軌跡向下移動，即隨相關系數絕對值的增加，每次的出清量逐漸減增加，出清量與相關系數絕對值呈同向變化，且隨套期保值比的增加，其差異越大。

圖5 不同相關系數的出清軌跡

5 結語

假定股票和期貨服從無漂移項的算術布朗運動，投資者效用為均值-方差形式，價格沖擊為線性沖擊，在連續(xù)時間框架下，求取了單只股票與股指期貨套期保值在給定出清時間內的同步出清問題，得到出清軌跡。

參數分析表明：當風險厭惡程度較大時，投資者傾向于在出清初期出清較大規(guī)模的頭寸，以降低后期的風險；組合標準差越大，則出清軌跡下移，投資者在出清初期更傾向于出清更多的頭寸以降低波動風險；當ρ>0，隨套期保值比的增加，投資者更傾向于緩慢的出清過程，當ρ<0則相反；在給定套期保值比的情況下，出清速率與相關系數呈反向變化。

由于采用股指期貨進行套期保值，使得組合標準差降低，起到平抑組合波動的作用，因而可以采取比無套期保值情況下更為緩慢的出清過程。

參考文獻：

[1] Lawrence C，Robinson G.Liquidity, dynamic hedging and value at risk[J].Risk Management for Financial Institutions, 1997，1(9)：63-72.

[2] Jarrow R, Subramanisan A.Mopping up liquidity[J].Risk, 1997, 10: 170-173.

[3] Bertsimas D，Lo A W.Optimal control of execution costs[J].Journal of Financial Markets, 1998, 1(1): 1-50.

[4] Almgren R, Chriss N.Value under liquidation[J].Risk, 1999, 12(12): 61-63.

[5] Almgren R, Chriss N, Optimal execution of portfolio transactions[J], Journal of Risk, 2000,3: 5-39.

[6] Huberman G, Stanzl W.Optimal liquidity trading[R].Working paper, Columbia University, 2001.

[7] Berkowitz J.Incorporating liquidity risk into VaR models[R].Working Paper, 2000.

[8] Almgren R.Optimal execution with nonlinear impact functions and trading-enhanced risk[R].Working paper, 2001.

[9] Dubil R.The modeling of liquidity in the valuE-at-risk framework[D].Connecticut: University of Connecticut 2001.

[10] Dubil R.Optimal liquidation of large security holding in thin market[M].Journal of Financial Economics, 2002.

[11] M? B.Strategic trading in illiquid markets[M].Berlin Heidelberg: Springer-Verlag , 2005.

[12] Subramanian A.Optimal liquidation by a large investors[J].SIAM Journal on Applied Mathematics, 2007.

[13] Kim S J, Boyd S.Optimal execution under time-inhomogeneous price impact and volatility[J].Preprint, 2008.

[14] 林輝.金融市場微觀結構視角的La-VaR模型[D].南京：東南大學，2004.

[15] 胡小平.La-ES與最優(yōu)變現(xiàn)策略模型研究[D].上海：上海交通大學，2006.

[16] 儲小俊.在隨機非線性價格沖擊下的最優(yōu)變現(xiàn)策略研究[J].中國管理科學，2007，15(5): 137-142.

[17] 劉宣會.于隨機Lagrange方法的最優(yōu)套期保值策略[J].系統(tǒng)工程理論實踐, 2010, 30(6): 1034-1039.

[18] 唐衍偉.算術布朗運動下股指期貨套期保值離散出清策略[J].系統(tǒng)工程理論實踐, 2012.