向量概念的發展

房元霞

向量（矢量）是現代數學和物理學中的重要工具，對數學和物理學的發展產生了不可或缺的影響。向量概念的產生和演變也正是源自于數學的內部需要和物理學的直接推動。

一、建立現代向量理論的基礎

力的平行四邊形法則、萊布尼茲的位置幾何以及復數的幾何表示思想是向量理論起源的三個重要思想源泉[1]29。為了復數便于應用，韋賽爾（C.Wessel）于1797年，阿爾岡（J.R.Argand）于1806年分別獨立地建立起復數的幾何表示，并為數學家們所接受和熟悉，于是數學家們認識到復數可以用來表示和研究平面上的向量。然而復數不能刻畫三維空間中的一般物理量，所以，數學家們試圖將這種思想推廣到三維空間中去，尋找復數的空間類似物，但他們的嘗試總是在乘法的困難面前失敗。英國的數學家、物理學家哈密頓（w.r.hamilton）和德國數學家格拉斯曼（H. G. Grassmann）的創造解決了這個問題。

哈密頓把復數處理成有序對(a，b)，構造了復數的四則運算法則。之后，他希望能發展類似于(a，b)的三元數組(a，b，c)的代數理論。經過十三年的努力，哈密頓終于在1843年找到了問題的解。當然，不是他所期望的三元數組，而是有4個分量的四元數，并且要放棄乘法交換律。哈密頓的四元數(a，b，c，d)類似于復數記為a+bi+cj+dk，其中a,b,c,d∈R，I,j,k滿足i2=j2=k2=ijk=-1,ij=-ij=k,jk=-kj=I,ki=-ik=j。因為bj+cj+dk可以在三維空間中用幾何的方法構造直線或徑矢[2]532，所以，哈密頓把四元數Q=a+bi+cj+dk分為兩部分：數量部分SQ=a和向量部分VQ=bi+cj+dk。哈密頓第一個用“向量（vector）”表示了有向線段。

正當哈密頓建立四元數時，格拉斯曼對復數作了更大膽的推廣。在他1840年完成的論文《潮汐理論》中已包括了三維向量代數的大部分內容，1944年的《線性擴張理論》闡述了n維向量空間。但是，由于內容過于抽象，思想超前又語言晦澀難以理解，故在相當長的一段時間內被人忽視，對向量理論的發展影響較小。

二、物理學的應用促進了向量的演變

適應物理學對向量分析的需要，英國的物理學家泰特（P. G. Tait）和麥克斯韋（J. C. Maxwell）繼承和發展了四元數理論。泰特在1867年寫了一篇提倡四元數方法在物理學中應用的文章：“論四元數的基礎理論”，討論了兩個向量的相等、加法、減法、數乘以及向量的積和商，包含了所有與現代意義下向量點積和叉積的規律相當的內容。特別的，他證明了Sαβ=-TαTβcosθ（這里Tα表示α的長度，θ是α和β間的夾角）Vαβ=-VαVβsinθ·η（這里η是一個垂直α和β的單位向量）。麥克斯韋在“論物理量的數學分類”一文中對四元數做了討論，而對于向量概念的演變最重要的著作是1873年出版的《論電和磁》，其中標量積和向量積經常是單獨使用，物理結論的表示使用了笛卡爾坐標和四元數兩種形式。麥克斯韋將四元數分析的某些部分與《論電和磁》中介紹的重要物理概念聯系起來，勾畫出物理學家所需要的向量分析的輪廓。

三、三維向量代數和向量分析的建立

獨立的三維向量代數和向量分析是由美國的吉布斯（J. W. Gibbs）和英國的亥維塞（O. Heavi-side）在十九世紀八十年代建立的。吉布斯在耶魯大學開設了一門向量分析在電子學中的應用的課程，并于1881年和1884年非公開地出版了他向量分析研究的結果。吉布斯首先定義了“向量”、“標量”、“向量分析”等概念，并且沿襲四元數的傳統，用希臘字母來表示向量，通過i，j，k表示向量的分量。在向量乘法方面，引入了“直積”，寫作α.β；“斜積”，寫作α×β，還討論了向量的微積分等。亥維塞于1882年和1883年的著作公開發表了有關向量的系統論述，他的結果除了記號外本質上與吉布斯的一致。到了1901年，吉布斯的《向量分析》正式出版，物理界更加清楚地知道是向量而不是四元數為描述物理概念提供了必需的語言。當然從四元數到向量的演變是一個尋找三維空間物理量適合的數學表示和演算工具的過程，是一個“認識”多于發現的過程[3]496。

四、向量在中國

伴隨著物理學和數學的引進，向量在中國得以傳播和發展。美國傳教士丁韙良（W. A. P. Martin）編輯翻譯了《格物測算·電學》，并于1883年由京師同文館初刊，書中用“雙立人”偏旁表示矢量。正式出版的第一部中譯本四元數著作是顧澄翻譯，并于1909年石印出版的《四原原理》（由于與我國的四元術之“四元”容易混淆，暫譯為“四原”） [1]30。1921年，北京高等師范學校的《數理雜志》第3卷第2期中應用了現代向量的符號 。二十世紀早期，由于中國學者的出國學習和翻譯工作使得向量理論得以在中國廣泛傳播和研究，與向量理論有關的著作、論文和教科書不斷出現，許多高校已把向量內容作為數學、物理專業課程的部分章節，而向量的名稱一直未統一，1989年全國自然科學名詞審定委員會將“Vector”譯為“矢量、向量”（物理稱“矢量”，數學稱“向量”）。近年來，隨著基礎教育數學課程改革的不斷發展和深入，向量的內容已進入高中數學課程。由于向量集數形于一身，典型地體現了數形結合的思想，是溝通代數、幾何與三角的橋梁，所以，向量是高中數學課程處理數學問題的基本的工具之一，向量的概念和方法已經成為現代社會公民的基本的數學素養。

參考文獻

[1]轉引自：孫慶華，包芳勛，向量在中國的傳播[J]太原理工大學學報（社會科學版） 2006（6）29－33

[2] V， J， KATZ，數學史通論[M]（第二版） 李文林等譯 北京：高等教育出版社，2004，530－533

[3]羅賢強，向量概念演變的歷史分析[J] 西北師范大學學報（自然科學版） 2005（4） 492496

[4]嚴士健， 張奠宙， 王尚志， 普通高中數學課程標準(實驗) 解讀[M] 南京： 江蘇教育出版社， 2004， 121