數(shù)學教學中學生創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)

宋云峰

【摘要】中學數(shù)學教學中,教師必須精心重組教學內(nèi)容,充分暴露數(shù)學思維活動過程,以激發(fā)起學生的探究創(chuàng)新思維。本文從數(shù)學概念的教學,數(shù)學定理的教學,數(shù)學證明的教學,定理應(yīng)用的教學四個方面闡述了數(shù)學教學中學生創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】中學數(shù)學教學創(chuàng)新思維學生

中學數(shù)學教材所呈現(xiàn)給學生的是“概念―定理―例題―習題”模式,是具有確切的概念、最少的公理和經(jīng)過嚴謹?shù)恼撟C方法加工的純數(shù)學系統(tǒng),而對數(shù)學中基本概念的產(chǎn)生、形成、發(fā)展直至完善是如何走過來的,數(shù)學定理的發(fā)現(xiàn)、證明思路的猜測和證明方法的嘗試等思維活動是如何進行的,因種種局限談及不多,可這些往往是最能夠引發(fā)學生學習興趣,促進學生探索發(fā)現(xiàn)和發(fā)展學生思維的重要環(huán)節(jié),是中學數(shù)學教學不可忽視的。要發(fā)展學生的思維能力,教師必須精心重組教學內(nèi)容,充分暴露數(shù)學思維活動過程,以“有待建立的形式”為學生創(chuàng)設(shè)問題情景,設(shè)計一條“再發(fā)現(xiàn)”的道路去探索和發(fā)現(xiàn)事物變化的起因與內(nèi)在聯(lián)系,引起學生的認知沖突和構(gòu)建,激發(fā)起學生的探究思維。

暴露數(shù)學思維過程,就是要暴露數(shù)學概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理提出的過程,暴露解題、證題思路探索的過程,暴露數(shù)學知識應(yīng)用的過程,暴露數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的建立、推廣和發(fā)展的歷史過程。

一、數(shù)學概念的教學

要重視概念引入的必要性。引入概念教學時,可以從實際問題出發(fā),對感性材料進行深刻分析,逐步概括抽象出概念來;或者是通過所學概念與學生認知結(jié)構(gòu)中的某個適當概念實現(xiàn)同化來學習概念。如能結(jié)合生產(chǎn)和社會實踐,甚至結(jié)合數(shù)學史去講解,將對培養(yǎng)創(chuàng)造性思維起到促進作用。比如,為什么有理數(shù)域要擴充到實數(shù)域,再要擴充到復(fù)數(shù)域,為什么是這樣的擴充辦法,這樣做的合理性在什么地方,又是怎樣想出來的,經(jīng)歷了哪些主要坎坷,對數(shù)學的發(fā)展起了什么作用等。這樣教學,使概念教學不僅解決“是什么”的問題,還要解決“是怎樣想到”的問題,以及這個概念對以后建立、發(fā)展理論所發(fā)揮的作用的問題,把概念的來龍去脈和歷史背景弄清楚,從而深刻理解數(shù)學概念。

二、數(shù)學定理的教學

在數(shù)學定理的教學中,應(yīng)遵循“尋求、發(fā)現(xiàn)、推證、運用”的思維過程進行教學。(1)尋求。教師創(chuàng)設(shè)教學鋪墊,在分析新舊知識間的本質(zhì)聯(lián)系與區(qū)別的基礎(chǔ)上,確定同化(順應(yīng))模式,安排猜想尋求過程,在關(guān)鍵步驟上放手讓學生猜想尋求,給出定理的條件,或編制一些變換結(jié)論,缺少條件的“藏頭露尾”的題目,讓學生通過分析尋求一些結(jié)論,尋求解題的方向,尋求由特殊到一般的可能,尋求知識間的有機聯(lián)系。(2)發(fā)現(xiàn)。對尋求的結(jié)論用特殊的值去驗證,看結(jié)論與實際是否吻合,發(fā)現(xiàn)特殊性的問題。(3)推證。當實踐的結(jié)果與尋求的結(jié)論符合時,想辦法從理論上用自己前面學過的知識把結(jié)論推證出來,得出符合一般性的定理。(4)運用。把定理運用具體的解題當中,再次加深對定理的理解。

如在等腰三角形有關(guān)重要線段定理教學時,引導學生在定理的條件(結(jié)論)不變時對結(jié)論(條件)從不同的角度去猜想尋求,發(fā)掘出定理的縱橫聯(lián)系,強化學生對定理的理解。命題“(A1)等腰三角形兩底角平分線的交點,(B1)必在底邊的中垂線上”,讓學生猜想,條件(A1)不變,如何對結(jié)論(B1)進行變換?換成(B2):“必在頂角的平分線上”;結(jié)論(B1)不變,條件(A1)進行變換,換成(A2):“等腰三角形兩上中線的交點”,換成(A3)“等腰三角形兩上高的交點”,換成(A4)“等腰三角形兩上中垂線的交點”,經(jīng)過驗證就得出(A1)=>(B2),(A2)=>(B1),(A3)=>(B1),(A4)=>(B1)四個新定理,通過條件發(fā)散和結(jié)論發(fā)散,引導學生多向思維,培養(yǎng)創(chuàng)新求異思維品質(zhì)。

在數(shù)學定理的教學中,要引導學生弄清定理來源,反映數(shù)學創(chuàng)造和建立的過程。例如:三角函數(shù)這一章公式繁多,很多學生抓不住頭緒,其實公式雖多,其最基本的只有兩個sin(α+β)和cos(α+β)。在深刻理解這兩個公式后,其它公式的產(chǎn)生、證明和體系構(gòu)建就清晰了,學生就可以在教師引導下自己去發(fā)現(xiàn)sin(α-β)和cos2α的推導過程,教師要引導學生觀察它們與sin(α+β)、cos(α+β)的聯(lián)系與區(qū)別,要為學生的發(fā)現(xiàn)創(chuàng)設(shè)情景和環(huán)節(jié),引導學生走進數(shù)學創(chuàng)造和建立的過程。

三、數(shù)學證明的教學

在尋求數(shù)學證明中,首先,要分清定理的條件和結(jié)論,要證明的結(jié)論是什么,怎樣敘述的,對這樣的敘述完全了理解嗎,要證明的例題還有沒有另外的敘述方法;等概念的結(jié)論各包含哪些事項,它們的關(guān)系怎樣;明晰已知什么、求證什么。其次,要思考由什么樣的前提才能推出要證明的例題,即由給定范圍內(nèi)的哪些已學過的命題(定義、公理等)可以推出這個命題。在利用綜合法尋求證明的起點比較困難時,必須借助“倒推法”,即分析法才能找到證明的起點。有時是綜合法和分析法雙管齊下,從條件、結(jié)論推理去尋求二者呼應(yīng)。例如,幾何證明題,從□ABCD頂點向形外的任意直線MN引垂線AA′,BB′,CC′,DD′,垂足分別A′、B′、C′、D′,求證:AA′+CC′=BB′+DD′。

分析:此題結(jié)論比較復(fù)雜,所以要從條件、結(jié)論去尋求二者呼應(yīng)。

特點:四條線段都與直線MN垂直;

聯(lián)想:四條平行線段是否可構(gòu)成梯形?

猜想:欲證線段“AA′+CC′”和“BB′+DD′”的關(guān)系,梯形中有定理涉及兩底邊和的,讓這四條線段作為梯形底邊,可否解決問題?

驗證:要構(gòu)成梯形AA′C′C和梯形AA′C′C,從而,作輔助線連結(jié)AC,BD交于點O。

再聯(lián)想:要使四條線段是梯形上下底,其和只能與梯形的中位線有聯(lián)系。

問題:如何做中位線?O點有什么意義?

驗證:作OO′垂直線MN,可證出OO′是兩個梯形的共用中位線,進而AA′+CC′=BB′+DD′被肯定。在幾何證明中經(jīng)常是這樣從條件探索結(jié)論,從結(jié)論求因至條件,或是同時從條件和結(jié)論兩邊探索達到吻合而得以求證。

四、定理應(yīng)用的教學

在數(shù)學定理的應(yīng)用教學中,教師必須創(chuàng)設(shè)一系列情景,讓學生主動探索,發(fā)現(xiàn)新問題。一是要利用一題多解,訓練學生發(fā)散思維。在呈現(xiàn)單向、正向思維的基礎(chǔ)上,引導學生進行多向思維,就不同的角度、不同的方位、不同的觀點分析思考同一問題,從而擴充思維的范圍,收到舉一反三的效果,求新求異,提高教學質(zhì)量。二是要利用互逆因素,訓練學生逆向思維。正向思維定勢經(jīng)常制約學生思維空間的拓展。三是要抓住分析時機,訓練學生聯(lián)想思維,聯(lián)想能使學生進行多角度地去觀察思考問題,進行大膽聯(lián)想,尋求答案。四是要抓住猜想時機,訓練學生靈感思維。要注意使學生獨立思考、標新立異,從例子和已知知識中發(fā)現(xiàn)和提出新的數(shù)學問題,學會怎樣分析、怎樣判斷、怎樣推理、怎樣發(fā)現(xiàn)、怎樣解決問題。通過深化和減弱條件,通過加強結(jié)論、一般化、推廣、特殊化、類比等引出或轉(zhuǎn)化成別的問題,尋求一題多變、一題多解、多題一解,以及此問題同彼問題的聯(lián)系和區(qū)別。五是通過知識的系統(tǒng)化,訓練學生概括思維。建立新知識與已有認知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)知識橫向聯(lián)系,概括出帶有普遍性的規(guī)律,從而推動同化、順應(yīng)的深入。