運用變式教學,培養學生的思維

在數學教學中，恰當、合理的變式，有意識地引導學生從“變”現象中發現“不變”的本質，探求“不變”的規律，不僅能鞏固知識，形成技能，而且能完善學生的認知結構，增強應變能力，提高學生發現問題、解決問題的能力，培養學生靈活多變的思維品質與創新意識.本文根據自己的教學實踐，談談如何在習題課的變式教學中培養學生思維能力.

一、對例題、習題由表及里，培養思維的深刻性

心理學研究表明:人的認識總是由淺入深，由表及里，由具體到抽象，由簡單到復雜的.因而所設計的嘗試學習問題必須遵循人的認識規律，采取低起點、小步子、多訓練、快反饋的方法，使學生認識活動劃分為由易到難、由簡到繁的若干遞進層次，使學生逐步地多次獲得成功，保護學生旺盛的學習積極性，培養思維的深刻性.

例如，在教學“雙曲線及其標準方程”時，我設計如下題組:

1. 在△ABC中，已知其周長為18，B(-4，0)，C(4，O)，則頂點A的軌跡方程是.

2. 在△ABC中，已知B(-4，0)，C(4，0)，若AB-AC=8時，則頂點A的軌跡方程是;若AB-AC=6時， 則頂點A 的軌跡方程是 ;

3. 在平面上， 已知點P(x，y)，F1(-c，0)，F2(c，0)，PF1-PF2=2a，若a=c時，則點P的軌跡方程是;若a>c時，則點P的軌跡方程是;若a

上面的題組中，從橢圓的定義引入，同時通過計算，讓學生由特殊到一般類比歸納出雙曲線的定義，不僅加強了學生的計算能力，也進一步培養了學生的類比、歸納、抽象和概括能力.

二、探索例題的非常規解法，培養思維的批判性

教師應注意深挖細琢例題，尋找機會展示自己的思維過程，提出新假設、新論斷，通過探求問題的非常規解法，帶給學生意外的驚喜，以訓練學生思維的批判性.

例如，求證:+<2.

常規解法是:因為+和2都是正數，所以要證明+<2，只需要證明(+)2<(2)2，展開得10+2<20，即<5.因為21<25成立，所以(+)2<(2)2，即證明了+<2.

很多學生對該解法只知其然，不知其所以然，甚至在獨立完成如-<2時容易犯將該式兩邊平方的錯誤，為了避免這種情況，教師應引導學生用新的方法，獨立地組織自己的思維進程，訓練學生的思維.

非常規解法是:

+==<== 2.

學生驚喜之至，問題得到巧解，既補充和延伸了課堂教學，消除了學生的疑慮，排除了干擾，又培養了學生的質疑精神、科學的批判精神和鍥而不舍的學習精神，何樂而不為?

三、精選變式習題，培養學生思維的廣闊性

教材往往只是研究問題的最基本形式，即使把有關問題弄清了，也只能是把握問題的某個方向，因此，教師要挖掘習題深層次的知識，縱橫聯系，多角度地考慮問題，使學生思維呈現輻射狀.

教材中關于焦點弦有這樣一道題:過拋物線y2=2px的焦點的一條直線和這拋物線相交，兩個交點的縱坐標為y1，y2，求證:y1y2=-p2.

筆者啟發學生，對此題進行變式.在師生的共同努力下便得到了如下一系列的結論.

1. 拋物線的通徑是最短的焦點弦.

2. 過拋物線y2=2px的焦點的一條直線和拋物線相交，兩交點的橫坐標x1，x2，求證:x1x2=.

3. 一條直線與拋物線y2=2px相交于Q、P，設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果坐標滿足y1y2=-p2(或x1x2=)，那么這條直線經過拋物線的焦點.

4. 拋物線y2=2px的焦點弦的傾斜角為α(α≠0)，則焦點弦的長度為.

5. 如果拋物線的焦點弦為AB，F為焦點，則+=.

6. 以拋物線的焦點弦為直徑的圓必與其準線相切.

7. 拋物線的焦點弦兩端點的切線互相垂直.

8. A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，是拋物線y2=2px上的三點，如果FA，FB，FC成等差數列(F為焦點)，那么①x1，x2，x3成等差數列;②y12，y22，y32成等差數列.

9. 過拋物線y2=2px的焦點作互相垂直的兩條弦，則以此兩弦為對角線的內接四邊形的面積的最小值是8p2.

10. 設拋物線的對稱軸與準線相交于點A，過點A作拋物線的割線ABC，過焦點F與ABC平行的弦PQ，則AB·AC=FP·FQ.

上述10個變式源于課本而又高于課本，變式過程逐步深入，環環相扣，將與拋物線的焦點弦相關的問題研究得一覽無余，如果指導學生把拋物線改寫成圓、橢圓、雙曲線，又可以得到一系列新的結論.這樣，能提高學生舉一反三、觸類旁通的能力，使之達到熟一類，通幾類的效果.

四、引導學生對習題探究和猜想，培養思維的創造性

每個人都希望自己是一個發現者、探索者.教師應該認真研究教學要求，以學生為本，精心設計習題，給學生一片自主探索的天空，使學生的創新能力得到培養.

例如，在教學“已知圓的方程是x2+y2=r2，求經過圓上一點M(x0，y0)的切線方程”這一問題時，作如下變式.

變式1:已知點M(x0，y0)是圓x2+y2=r2內異于圓心的一點，則直線x0x+y0y=r2與圓的交點個數是 ;

變式2:當點M(x0，y0)在圓x2+y2=r2外時，直線x0x+y0y=r2的幾何意義是什么?

變式3:當點M(x0，y0)在圓x2+y2=r2內(非圓心)時，直線x0x+y0y=r2的幾何意義是什么?

學生利用平面幾何的知識，會很快得到切線方程是x0x+y0y=r2;但對于變式1，比較多的學生受到原題的影響，看到直線方程是x0x+y0y=r2，就想到直線與圓相切，于是填上1，也有不少學生看到M(x0，y0)是圓x2+y2=r2內的一點，于是斷定直線與圓必相交填上2，其實只須利用直線與圓的位置關系的判斷方法即可得到公共點是0的標準答案;對于變式2，引導學生探索:過點M可作圓的兩條切線P1M，P2M，設切點為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則由原來例題的結論，得切線P1M的方程為x1x+y1y=r2，切線P2M的方程為x2x+y2y=r2，因點M(x0，y0)在直線P1M，P2M上，所以x1x0+y1y0=r2，x2x0+y2y0=r2，由此可得P1，P2在直線x0x+y0y=r2上，而過兩點的直線有且只有一條，所以x0x+y0y=r2為弦P1P2的方程;對于變式3，可引導學生探索:過點M作圓的動弦P1P2，過P1，P2作兩切線，并相交于點P3(x3，y3)，由變式2的結論可得動弦P1P2的方程是x3x+y3y=r2，又因點M(x0，y0)在P1P2上，則x3x0+y3y0=r2，以x，y分別代替x3，y3，則直線x0x+y0y=r2是以動弦P1P2的兩端P1，P2為切點的兩切線的交點P的軌跡方程.

這樣，通過對問題層層遞進，逐步挖掘、深化，不僅使學生產生“有梯可上，步步登高”的成功感，而且讓學生始終處于愉快的探索狀態，學習積極性高，思維活躍.

責任編輯 羅 峰