求解特殊積分的若干方法

摘 要:積分學是數學分析的重要組成部分。熟練掌握積分學的相關內容是非常有必要的。主要論述無窮積分和瑕積分這些特殊積分的計算。由于無窮積分和瑕積分在知識結構上不是相互依存的關系，而是并列存在的關系，因此在討論無窮積分和瑕積分的計算問題時，將無窮積分的相關內容歸為一項，將瑕積分的相關內容歸為一項。指出無窮積分和瑕積分是并列存在的，但它們之間也有一定的聯系。論述了求解特殊積分的若干方法。

關鍵詞:無窮積分 瑕積分 方法

一、研究現狀

數學分析是數學及相關專業最重要的一門基礎課程之一，也是這類專業的學生進入大學后最早面對的課程之一。許多數學工作者都曾從事這方面的研究，并取得了豐碩的成果。20世紀初年勒貝格開創了可列可加測度的積分論，即實變函數，也稱實分析。復變函數論繼續向縱深發展，形成復分析。以函數空間為背景的泛函和算子理論，開始了泛函分析的歷程。三角級數論發展成的各種各樣的傅立葉分析。20世紀分析學的另一個特征是處理高維空間中曲線曲面，多變量函數的整體特征，這需要拓展學生知識和代數工具，形成流形上的積分。它使微分幾何學，偏微分方程，多復變函數論等學科相綜合，形成當代數學中的主流方向。與此同時，研究多元函數的反函數，多元積分的外微分形式，逐漸成為分析學中的基礎知識。

20世紀的分析學基本上解決了線性空間上的線性算子(線性微分方程)的課題，目前非線性分析已成為最活躍的數學分支之一。微積分的基礎雖已嚴密化，但是無窮小量卻不再是一個量，而是一個變化過程。為了使無窮小和無窮大作為一個量重返數壇，羅賓遜在1960年將實數系R擴充為超實數系R*，無窮小量作為實數系R*的數，使極限過程的表示更為簡單，這稱為非標準分析。

而積分學作為數學分析的重要組成部分，是數學專業及物理、化學、建筑等其他相關專業的學生必備的基礎知識。所以，研究無窮積分、瑕積分的計算具有十分重要的意義。我國的數學工作者在這個方向也做出許多成績。比如蘭州交通大學數理與軟件工程學院的許軍保老師于2004年在《商洛師范專科學校學報》上發表了《瑕積分計算的簡化》。另外，還有許多從事這方面研究的數學工作者也取得了不少的成績。由于本人水平有限，在這里只是淺談無窮積分、瑕積分的計算方法。

二、無窮積分的求解方法

1.基本概念與性質

(1)定義

注:本道例題中，所求積分轉化為了一個瑕積分和一個無窮積分的和。

四、結論

無窮積分與瑕積分統稱廣義積分，是積分理論中的重要內容。深刻認識無窮積分與瑕積分的關系，對正確把握常義積分與廣義積分的區別和聯系具有十分重要的作用。而廣義積分又可以看作是定積分與函數極限的結合，因此有關定積分的計算公式和技巧幾乎都能應用于廣義積分。其中最典型的就是分部積分法。

前面已經說過無窮積分和瑕積分在知識結構上不是相互依存的關系，而是并列存在的關系。因此本文討論了幾種有關無窮積分的計算方法，討論了幾種有關瑕積分的計算方法。其中定義法、分部積分法是計算廣義積分最根本的方法。但是，對于那些有一定難度的題目，就需要一些解題技巧，這需要讀者自己去不斷總結。

參考文獻:

1.華東師大數學系.數學分析(上)[M].北京:高等教育出版社

2.鐘玉泉.復變函數論[M].北京:高等教育出版社

3.裴禮文.數學分析中的典型問題與方法[M].北京:高等教育出版社

4.費定暉，周學圣.吉米多維奇數學分析習題集題解[M].濟南:山東科學技術出版社，1985.419

5.孫清華，孫昊.復變函數內容、方法與技巧[M].武漢:華中科技大學出版社，1985.298

6.李成章，黃玉民.數學分析(上，第二版)[M].北京:科學技術出版社，2000.273

7.宋國棟等.數學分析習題題解(單變量部分)[M].北京:科學技術出版社，2002.254

8.林益等.數學分析習題詳解(上)[M].武漢:華中科技大學出版社，2002

9.謝惠民等.數學分析習題課講義(上)[M].北京:高等教育出版社，2001.390

10.錢吉林.數學分析題解精粹[M].北京:崇問書局.2003:316

作者單位:四川省萬源市萬源中學