求解特殊積分的若干方法

摘 要:積分學(xué)是數(shù)學(xué)分析的重要組成部分。熟練掌握積分學(xué)的相關(guān)內(nèi)容是非常有必要的。主要論述無(wú)窮積分和瑕積分這些特殊積分的計(jì)算。由于無(wú)窮積分和瑕積分在知識(shí)結(jié)構(gòu)上不是相互依存的關(guān)系，而是并列存在的關(guān)系，因此在討論無(wú)窮積分和瑕積分的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，將無(wú)窮積分的相關(guān)內(nèi)容歸為一項(xiàng)，將瑕積分的相關(guān)內(nèi)容歸為一項(xiàng)。指出無(wú)窮積分和瑕積分是并列存在的，但它們之間也有一定的聯(lián)系。論述了求解特殊積分的若干方法。

關(guān)鍵詞:無(wú)窮積分 瑕積分 方法

一、研究現(xiàn)狀

數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)及相關(guān)專業(yè)最重要的一門基礎(chǔ)課程之一，也是這類專業(yè)的學(xué)生進(jìn)入大學(xué)后最早面對(duì)的課程之一。許多數(shù)學(xué)工作者都曾從事這方面的研究，并取得了豐碩的成果。20世紀(jì)初年勒貝格開創(chuàng)了可列可加測(cè)度的積分論，即實(shí)變函數(shù)，也稱實(shí)分析。復(fù)變函數(shù)論繼續(xù)向縱深發(fā)展，形成復(fù)分析。以函數(shù)空間為背景的泛函和算子理論，開始了泛函分析的歷程。三角級(jí)數(shù)論發(fā)展成的各種各樣的傅立葉分析。20世紀(jì)分析學(xué)的另一個(gè)特征是處理高維空間中曲線曲面，多變量函數(shù)的整體特征，這需要拓展學(xué)生知識(shí)和代數(shù)工具，形成流形上的積分。它使微分幾何學(xué)，偏微分方程，多復(fù)變函數(shù)論等學(xué)科相綜合，形成當(dāng)代數(shù)學(xué)中的主流方向。與此同時(shí)，研究多元函數(shù)的反函數(shù)，多元積分的外微分形式，逐漸成為分析學(xué)中的基礎(chǔ)知識(shí)。

20世紀(jì)的分析學(xué)基本上解決了線性空間上的線性算子(線性微分方程)的課題，目前非線性分析已成為最活躍的數(shù)學(xué)分支之一。微積分的基礎(chǔ)雖已嚴(yán)密化，但是無(wú)窮小量卻不再是一個(gè)量，而是一個(gè)變化過(guò)程。為了使無(wú)窮小和無(wú)窮大作為一個(gè)量重返數(shù)壇，羅賓遜在1960年將實(shí)數(shù)系R擴(kuò)充為超實(shí)數(shù)系R*，無(wú)窮小量作為實(shí)數(shù)系R*的數(shù)，使極限過(guò)程的表示更為簡(jiǎn)單，這稱為非標(biāo)準(zhǔn)分析。

而積分學(xué)作為數(shù)學(xué)分析的重要組成部分，是數(shù)學(xué)專業(yè)及物理、化學(xué)、建筑等其他相關(guān)專業(yè)的學(xué)生必備的基礎(chǔ)知識(shí)。所以，研究無(wú)窮積分、瑕積分的計(jì)算具有十分重要的意義。我國(guó)的數(shù)學(xué)工作者在這個(gè)方向也做出許多成績(jī)。比如蘭州交通大學(xué)數(shù)理與軟件工程學(xué)院的許軍保老師于2004年在《商洛師范專科學(xué)校學(xué)報(bào)》上發(fā)表了《瑕積分計(jì)算的簡(jiǎn)化》。另外，還有許多從事這方面研究的數(shù)學(xué)工作者也取得了不少的成績(jī)。由于本人水平有限，在這里只是淺談無(wú)窮積分、瑕積分的計(jì)算方法。

二、無(wú)窮積分的求解方法

1.基本概念與性質(zhì)

(1)定義

注:本道例題中，所求積分轉(zhuǎn)化為了一個(gè)瑕積分和一個(gè)無(wú)窮積分的和。

四、結(jié)論

無(wú)窮積分與瑕積分統(tǒng)稱廣義積分，是積分理論中的重要內(nèi)容。深刻認(rèn)識(shí)無(wú)窮積分與瑕積分的關(guān)系，對(duì)正確把握常義積分與廣義積分的區(qū)別和聯(lián)系具有十分重要的作用。而廣義積分又可以看作是定積分與函數(shù)極限的結(jié)合，因此有關(guān)定積分的計(jì)算公式和技巧幾乎都能應(yīng)用于廣義積分。其中最典型的就是分部積分法。

前面已經(jīng)說(shuō)過(guò)無(wú)窮積分和瑕積分在知識(shí)結(jié)構(gòu)上不是相互依存的關(guān)系，而是并列存在的關(guān)系。因此本文討論了幾種有關(guān)無(wú)窮積分的計(jì)算方法，討論了幾種有關(guān)瑕積分的計(jì)算方法。其中定義法、分部積分法是計(jì)算廣義積分最根本的方法。但是，對(duì)于那些有一定難度的題目，就需要一些解題技巧，這需要讀者自己去不斷總結(jié)。

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作者單位:四川省萬(wàn)源市萬(wàn)源中學(xué)