對數(shù)學(xué)作業(yè)的反思

摘 要:解決了數(shù)學(xué)問題并非大功告成，更重要的是解題后的反思。筆者認(rèn)為做完作業(yè)要從四個(gè)層次進(jìn)行反思，反思解題方法，反思解題依據(jù)，反思解題思路，反思一題多變，以發(fā)展學(xué)生思維能力。

關(guān)鍵詞:反思 解題方法 一題多變 思維能力

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾說:“反思是重要的數(shù)學(xué)活動，它是數(shù)學(xué)活動的核心和動力。”作業(yè)是課堂教學(xué)的延伸，在作業(yè)中反思是學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容的鞏固和思維能力發(fā)展的重要手段，也是教師反思和改進(jìn)教學(xué)的重要途徑。

學(xué)習(xí)過程中總要做練習(xí)，但做完題目并非大功告成，數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是完成了一半，更重要的是解題后的回顧與反思，表現(xiàn)為將知識引申、拓展、深化。因此，反思是解題之后的重要環(huán)節(jié)，一般來說，作業(yè)做完后要從四個(gè)層次反思。

反思一:怎樣做出來的?即在解題中反思方法，正確解題，這是最為重要的。有些學(xué)生只是為完成老師布置的作業(yè)而去做題，解題過程中籠統(tǒng)地套用已有的結(jié)論，不去對題目進(jìn)行認(rèn)真審題，導(dǎo)致相配套的作業(yè)質(zhì)量不高。在一次作業(yè)中出現(xiàn)錯誤，有些學(xué)生往往不屑一顧，不了了之。但是，我們常常發(fā)現(xiàn)，類似的錯誤往往一犯再犯，一錯再錯，究其根源，是課后沒有對所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行反思，沒有對課堂上老師已授的例題所采用的方法進(jìn)行理解和消化。

[案例1]在直線與圓的位置關(guān)系一節(jié)中有這樣的一題:在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以C點(diǎn)為圓心，r為半徑畫圓，討論r為何值時(shí)，所畫⊙C與線段BA的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

學(xué)生錯誤主要有兩種，一種是認(rèn)知上的錯誤，即對“直線”與“線段”的含義沒有加以區(qū)別，單純套用了直線和圓的三種位置關(guān)系，第二種是策略上的錯誤，考慮不全面，漏落了一些情形。正由于沒有深度思維，所以在另一次作業(yè)中又出現(xiàn)了類似的錯誤。

鑒于此，教師在作業(yè)批改中應(yīng)反思:為什么有些學(xué)生屢做屢錯，根源在哪里，要進(jìn)行歸類統(tǒng)計(jì)，找出問題所在，思考補(bǔ)救措施，在作業(yè)評講中要注意引導(dǎo)學(xué)生分析問題，確定解題思路，復(fù)習(xí)舊知，為學(xué)生提供一個(gè)對基本知識及其注意點(diǎn)重新認(rèn)識或更深刻地理解知識的機(jī)會，概括解題方法，提煉思想方法。學(xué)生更應(yīng)反思:錯解的原因，在解題中是否正確審題，注意哪些事項(xiàng)，如何克服常犯錯誤，從而“吃一塹，長一智”，不斷完善，此外要建立起自己的錯題檔案，有錯必糾，及時(shí)整理，隨時(shí)記錄。

反思二:為什么這樣做?即反思解題依據(jù)的原理，題目中涉及到哪些知識點(diǎn)，知識點(diǎn)之間的關(guān)系。

反思三:為什么想到用這種方法?即反思解題思路，理清已知條件，做到思路清晰，推理有據(jù)，定理公式運(yùn)用恰當(dāng)，步驟詳略得當(dāng)。

反思四:有無其他方法?哪一種方法最好?比較各種方法的優(yōu)劣，優(yōu)化解題。

[案例2]在《圓周角》一節(jié)有一例:如圖1，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在圓O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直徑，△ABE和△ACD相似嗎?為什么?

此題用了圓周角的性質(zhì)，又運(yùn)用證三角形相似的方法，學(xué)生都能證明之。

教師在課上對此題進(jìn)行了了變式訓(xùn)練。[變式1]如圖2，條件中去掉AE是直徑，求證AB·AC=AE·AD，出示了此題后，學(xué)生自然聯(lián)想到例題中已添加輔助線直徑AE，連AE證△ABE和△ACD相似，運(yùn)用相似三角形對應(yīng)邊成比例，再將比例式改寫成乘積式，直接得到結(jié)論。故就一般而言，例題處理結(jié)束，但教者又進(jìn)行了[變式2]如圖3，AD是△ABC的高，△ABC外接圓⊙O的半徑是R，(1)求證:AB·AC=2R·AD(2)若AB+AC=10，AD=2，當(dāng)AB等于多少時(shí)，⊙O的面積最大。

思考之一:在圖2中2R=AE，故解決第一問題，學(xué)生最容易想到作直徑AE，只要證明AB·AC=AE·AD就行，教者要求學(xué)生另辟途徑，有無其他添加輔助線的方法，作直徑BE、直徑CE能否證明之。學(xué)生嘗試作出直徑BE、直徑CE分別如圖4和圖5。