淺析新課標下函數(shù)圖像的教學

一、函數(shù)圖像的定義與作用

(一)函數(shù)圖像的定義

對于一個函數(shù)y=f(x)，如果把其中的自變量x視為平面直角坐標系上的某一點的橫坐標，把對應(yīng)的唯一的函數(shù)值y視為此點的縱坐標，那么，這個函數(shù)y=f(x)，無論x取何值，都同時確定了一個點，由于x的取值變化，y的值也不同，表示的點也就就不一樣。由這些點在平面上組成的圖形就是此函數(shù)的圖像，簡稱圖像。

(二)函數(shù)圖像的作用

函數(shù)圖像的作用即能從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、最值、單調(diào)性、奇偶性、周期性。

二、函數(shù)圖像與高考

新高考中考查函數(shù)的圖像一般以幾類基本初等函數(shù)的圖像為基礎(chǔ)。近年來與函數(shù)圖像有關(guān)的試題，一般考查:(1)能夠從圖中(或列表中)讀懂各種信息，解決有關(guān)的實際問題;(2)會進行平移變換、伸縮變換和對稱變換，進而研究函數(shù)的有關(guān)性質(zhì);(3)會利用函數(shù)圖像研究函數(shù)的周期性和函數(shù)值的變化趨勢。由此看到，函數(shù)圖像是研究函數(shù)性質(zhì)、解決函數(shù)相關(guān)問題的重要工具。一方面，通過解決函數(shù)圖像問題既能夠考查函數(shù)性質(zhì)的掌握情況，又可以培養(yǎng)運用數(shù)形結(jié)合思想來解題的能力，可以說是一箭雙雕，說函數(shù)圖像是高考命題的熱點不過分。

三、函數(shù)圖像的教學剖析

函數(shù)圖像是學習函數(shù)的一個重要環(huán)節(jié)，對于函數(shù)圖像這個知識點我們應(yīng)該怎么樣處理呢?下面從作圖、識圖與用圖這3個方面進行剖析。

(一)作圖

從作圖方面來看，以解析式表示的函數(shù)作圖像的方法有兩種，即列表描點法和圖象變換法。利用描點作圖法作函數(shù)圖像的步驟有:①確定函數(shù)的定義域;②化簡函數(shù)的解析式(化簡過程必須是等價的);③討論函數(shù)的性質(zhì)即單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值(甚至變化趨勢);④描點連線，畫出函數(shù)的圖像。運用描點法作圖應(yīng)避免描點前的盲目性，還要避免盲目地連點成線，應(yīng)該把表列在關(guān)鍵處，把線連在恰當處，這就要求對所要畫的函數(shù)圖像的存在范圍、大致特征、變化趨勢等作一個大概的研究，而這個研究要借助于函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等理論和手段，是教學的一個難點。用圖像變換法作函數(shù)圖像則要確定以哪一種函數(shù)的圖像為基礎(chǔ)進行變換，以及確定怎樣的變換，這是作圖的關(guān)鍵。在教學中，主要掌握以下幾種變換:

①平移變換

Ⅰ.水平平移:函數(shù)y=f(x+h)的圖像可以把函數(shù)y=f(x)的圖像沿x軸方向向左(h>0)或向右(h<0)平移h個單位即可得到;

Ⅱ.豎直平移:函數(shù)y=f(x)+h的圖像可以把函數(shù)y=f(x)的圖像沿x軸方向向上(h>0)或向下(h<0)平移h個單位即可得到;

②對稱變換

Ⅰ.函數(shù)y=f(-x)的圖像可以將函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱即可得到;

Ⅱ.函數(shù)y=-f(x)的圖像可以將函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于x軸對稱即可得到;

Ⅲ.函數(shù)y=-f(-x)的圖像可以將函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于原點對稱即可得到;

③翻折變換

Ⅰ.函數(shù)y=f(x)的圖像可以將函數(shù)y=f(x)的圖像的x軸下方部分沿x軸翻折到x軸上方，去掉原x軸下方部分，并保留y=f(x)的x軸上方部分即可得到:

Ⅱ.函數(shù)y=f(x)的圖像可以將函數(shù)y=f(x)的圖像右邊沿y軸翻折到y(tǒng)軸左邊替代原y軸左邊部分并保留y=f(x)在y軸右邊部分即可得到:

④伸縮變換

Ⅰ.函數(shù)y=af(x)(a>0)的圖像可以將函數(shù)y=f(x)的圖像中的每一點橫坐標不變縱坐標伸長(a>1)或壓縮(0

另外常見的函數(shù)數(shù)字特征對我們畫圖也有一定的幫助，主要有:函數(shù)奇偶性、函數(shù)周期性、對稱性。

(二)識圖

主要考查函數(shù)圖像的分布范圍、變化趨勢、對稱性、周期性等，一般難度不大，如2009年廣東卷理科第8題選擇題。在平時練習中應(yīng)有所體現(xiàn)。

(三)用圖

考查用圖即主要考查數(shù)形結(jié)合思想方法，難度大，綜合性強，一般體現(xiàn)在解答題。如2008年廣東卷第18題。教學上應(yīng)重點訓練。

四、對函數(shù)圖像教學的體會

2009年《廣東考試說明》對函數(shù)圖像的要求是這樣的:(1)會運用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì);(2)理解數(shù)形結(jié)合的思想。從這兩點來看，數(shù)形結(jié)合思想在高考中占有非常重要的地位，其“數(shù)”與“形”結(jié)合，相互滲透，把代數(shù)式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述相結(jié)合，使代數(shù)問題、幾何問題相互轉(zhuǎn)化，使抽象思維和形象思維有機結(jié)合。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，就是充分考查數(shù)學問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何意義，將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙結(jié)合，來尋找解題思路，使問題得到解決。運用這一數(shù)學思想，要熟練掌握一些概念和運算的幾何意義及常見曲線的代數(shù)特征。因此，在平時的教學中，一定要重視這類題型的訓練，切勿掉以輕心。

一句話，把握好《考試說明》，有的放矢地進行教學，是我們高考取勝的關(guān)鍵所在。

參考文獻:

唐加俊.活用數(shù)形結(jié)合解題[J].中學數(shù)學教學參考.2005(9)

作者單位:廣東省封開縣江口中學