順序統計量的分布及其應用

摘 要:順序統計量是數理統計中的重要概念之一，它在參數性統計和非參數統計中有著廣泛的應用。本文主要用“概率元方法”推導任何一個順序統計量的分布，極小順序統計量和極大順序統計量的分布及其元件可靠性方面的應用。

關鍵詞:順序統計量 “概率元”方法 元件失效概率

順序統計量在近代統計推斷中起著重要的作用，這是由于有一些性質不依賴于母體的分布，而且計算量很小，使用起來較方便，因此在質量管理、可靠性等方面得到廣泛的應用。求離散型隨機變量的順序統計量的分布比較容易，本文就連續型隨機變量略加探討，為方便起見，假設隨機變量X是連續型隨機變量。

一、基本概念

定義:設X1，…，Xn是來自某總體的一個樣本，該樣本的第i個順序統計量，記為X(i)，它是如下的樣本函數，每當該樣本得到一組觀測值x1，…xn，時，將它們從小到大排列為x(1)≤x(2)≤…≤x(n)其中第i個值x(i)就是X(i)的觀測值。稱(X1，…，Xn)為該樣本的順序統計量，X1稱為該樣本的最小順序統計量，Xn稱為該樣本的最大順序統計量。

二、主要命題

在總體有密度函數p(x)場合，各種順序統計量的密度函數都容易用“概率元”方法導出。大家知道，連續型隨機變量落在很小區間(x，x+dx)內的概率為P(x﹤X≤x+dx)=p(x)d+o(dx)

其中o(dx)是比dx高階的無窮小量，所以p(x)dx是左端概率的主要部分，稱為是X的概率元。反之，若存在函數p(x)使上式成立，則p(x)就是X的密度函數。此種尋求密度函數方法稱為“概率元方法”。這個方法在多維聯合密度場合也適用，下面概率元方法來尋求各種順序統計量的密度函數。

設X1，…，Xn是來自某總體的一個樣本，該總體的分布函數為F(x)，密度函數為p(x)，該樣本的順序統計量為X(1)≤…X(n)，它們的觀測值依次記為y1≤…≤y(n)，X(k)的密度函數g(yk)，其中1≤k≤n，X(k)的觀測值為yk，以yk為基礎把實數軸分為三個區間:(-∞，yk)，[yk，yk+dyk)，[yk+dyk，∞)。

特別，X1與Xn的密度函數分布為

g(y1)=n[1-F(y1)]n-1p(y1)(2)

g(yn)=n[F(yn)]n-1p(yn)(3)

三、應用

例.設電子元件的壽命X服從參數為θ=0.0015的指數分布。測試了6個元件，分別記錄它們失效的時間(單位:h)。試求(1)至800h時，沒有一個元件失效的概率;(2)至3000h時，所有元件都失效的概率。

解:X的概率密度函數和分布函數分別為

f(x)=0.0015e-0.0015x，x>00，x≤0

F(x)=1-e-0.0015x，x>00，x≤0

(1)由式(2)，極小順序統計量X(1)的概率密度函數和分布函數分別為

f1(x)=0.009e-0.009x，x>00，x≤0

F1(x)=1-e-0.009x，x>00，x≤0

至800h沒有一個元件失效的概率為

p(X(1)>800)=1-F1(800)=1-(1-e-0.009(800))=e-7.2

(2)由式(3)，極大順序統計量X(6)的概率密度函數和分布函數分別為

f6(x)=0.009e-0.0015x(1-e-0.0015x)5，x>00，x≤0

F6(x)=(1-e-0.0015x)6，x>00，x≤0

至3000h時，所有元件都失效的概率為

P(X(6)<3000)=F6(3000)=(1-e-4.5)6

參考文獻:

1.魏宗舒等.概率論與數理統計教程. 北京:高等教育出版社，1983

2.施雨.應用數理統計.西安交通大學出版社，2005

作者單位:江西萍鄉高等專科學校