數(shù)學(xué)最值問(wèn)題方法探討

在歷年的高考試題中，涉及最值問(wèn)題的時(shí)有出現(xiàn)，這應(yīng)該引起我們的重視.下面就最值問(wèn)題的常規(guī)處理方法進(jìn)行探求與歸納.

1. 數(shù)形結(jié)合法

通過(guò)挖掘問(wèn)題的幾何意義，構(gòu)造出問(wèn)題的幾何模型，以形助數(shù)，可以大大的降低問(wèn)題的運(yùn)算量，提高解題速度.

例1已知復(fù)數(shù)Z滿足|Z-3+4i|=4，求|Z|的最值.

解:由|Z-3+4i|=4可知復(fù)數(shù)Z表示以M(3，-4)為圓心，半徑r=4的圓，而|Z|表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，如下圖所示.

|OM|==5

|OA|=|OM|-|AM|=5-4=1

|OB|=|OM|-|MB|=5+4=9

∵1≤|Z|≤9

∴ |Z|的最小值1，最大值為9.

2. 換元法

換元法是指引入一個(gè)或幾個(gè)新的變量代替原來(lái)的某些變量，對(duì)新變量求出結(jié)果后再返回求原來(lái)結(jié)果的一種方法.

例2求y=2x+的最值.

解:令=t(t≥0)，則2x=1-t2

∴ y=-t2+t+1=-(t-)2+

∴當(dāng)t=時(shí)，ymax=，無(wú)最小值.

3. 不等式法

主要是利用均值不等式或其變形式來(lái)求最值的一種方法.

例3設(shè)x和y都為正數(shù)，且滿足x2+=1，求x的最大值.

解:由x2+=1，得y2=2-2x2(0

∴ x==≤

當(dāng)且僅當(dāng)2x2=3-2x2即x=時(shí)等號(hào)成立.

∴當(dāng)x=時(shí)，x有最大值.

4. 函數(shù)單調(diào)性法

利用此法是求最值的常用方法，解題時(shí)必須先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后再利用單調(diào)性來(lái)求最值.

例4 求y=-的最值.

解:其定義域?yàn)閤≥2

∴ y=-

=

由于y=在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，且當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值，無(wú)最小值.

5. 判別式法

如果函數(shù)y= f(x)化為a(y)x2+b(y)x+c(y)=0(a(y)≠0)的形式且可以從Δ=b2(y)-4a(y)·c(y)≥0求出y的取值范圍時(shí)，可用此法.運(yùn)用此法時(shí)要特別注意，在求出y的取值范圍后，應(yīng)將端點(diǎn)值化回原函數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，防止產(chǎn)生“增值”現(xiàn)象.

例5求y=的值城.

解:原函數(shù)的定義域?yàn)镽.

∴(y-1)x2+(3y+3)x+(4y-4)=0

當(dāng)y≠1時(shí)，上式必有實(shí)根Δ=(3y+3)2-4(y-1)(4y-4) ≥0

∴≤y≤7(y≠1)

又∵當(dāng)y=1時(shí)，x=0;而x=0在定義域內(nèi).

∴原函數(shù)的值域?yàn)閧y│≤y≤7 }.

6. 導(dǎo)數(shù)法

若函數(shù) f(x)閉區(qū)間[a，b]上是連續(xù)函數(shù)，則 f(x)在該區(qū)間上有最大值與最小值.

例6求 f(x)=ln(1+x)- x2在[0，2]上的最值.

解: f ′(x)=-x，令f ′(x)=0，得-x=0

∴ x1=1，x2=-2(舍去)

當(dāng)00，故f(x)為單調(diào)遞增.

當(dāng)1

∴ f(x)在[0，2]的最大值為

f(1)=ln2-.

而f(0)=0，f(2)=ln3-1=ln3- lne>0.

∴ f(0)=0為f(x)在[0，2]上的最小值.

責(zé)任編輯羅峰