等積變形在幾何題中的應(yīng)用

中考中，我們經(jīng)常會(huì)遇到求陰影部分面積的題目，這些圖形不是以基本圖形的形狀出現(xiàn)，而是由一些基本圖形組合、拼湊而成的簡(jiǎn)單圖形，我們稱這類圖形為不規(guī)則圖形，在計(jì)算它們的面積時(shí)無(wú)法直接求解，那我們用什么方法計(jì)算它們的面積呢?這時(shí)就會(huì)用到等積變形方法，以下是等積變形的幾種常見(jiàn)形式。

一、平移

利用平移進(jìn)行等積變形是最常見(jiàn)的題型之一，平移包括點(diǎn)平移、線段平移、整個(gè)圖形平移等。

例1.如右圖，A是半徑為1的圓外的一點(diǎn)，OA=2，AB是圓的切線，B為切點(diǎn)，弦BC//OA，連接AC，求圖中陰影部分的面積。

分析:陰影部分為不規(guī)則圖形，由ΔABC與弓形組成，B為切點(diǎn)。連接OB、OC，如右圖所示，因?yàn)锽C//OA，在弓形面積不變的情況下把A點(diǎn)向O點(diǎn)平移，得到ΔABC與ΔOBC同底同高，則兩三角形面積相等，那么陰影部分面積等于扇形OCB的面積。

再看一個(gè)例子

例2.從大半圓中剪去一個(gè)小半圓(小半圓的直徑在大半圓的直徑MN上)點(diǎn)O為大半圓的圓心，AB是大半圓的弦，且與小半圓相切，AB//MN。已知AB=24cm，求陰影部分的面積。

分析:由于只知道了弦AB的長(zhǎng)，所以就不可能直接求出陰影部分的面積，此時(shí)因?yàn)锳B//MN，兩條平行線間的距離保持不變，所以可以通過(guò)平移小半圓，使小半圓的圓心與大半圓的圓心重合，然后作OC⊥AB，垂足為點(diǎn)C，連接OB，利用Rt△OCB就很容易得出正確答案。如右圖所示，具體過(guò)程為:

二、拆分與組合

拆分與組合這一形式要求較高，學(xué)生必須對(duì)圖形深入了解，能把不規(guī)則圖形進(jìn)行分解成若干規(guī)則圖形，進(jìn)行求解。

例3.如右圖，兩個(gè)半徑為1，圓心角是90度的扇形OAB和扇形O'A'B'疊放在一起，點(diǎn)O'在弧AB上，四邊形OPO'Q是正方形，則陰影部分的面積等于多少?

分析:對(duì)此圖形進(jìn)行拆分，拆成兩個(gè)全等的扇形，再進(jìn)行拼湊，如右圖所示，陰影部分的面積實(shí)際等于半圓的面積減去兩個(gè)正方形的面積，那此題就迎刃而解了。

例4.見(jiàn)右圖:如圖ΔABC中，∠C是直角，AB=12，∠ABC=60°，將ΔABC以點(diǎn)B為中心順時(shí)間旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到AB邊的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)D處，則圖中的陰影部分的面積是多少?

分析:通過(guò)分析圖形的形成過(guò)程，整個(gè)圖形由扇形ABE與直角三角形ΔBDE組成，而圖中的非陰影部分由扇形CBD與直角三角形ΔABC組成，則可得圖中陰影部分的面積

三、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱

例5.矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB為直徑的半圓O與DC相切于點(diǎn)E，求陰影部分的面積。

分析:見(jiàn)切點(diǎn)連圓心，連接OE交DB于點(diǎn)F，△DEF與△BOF全等，且△DEF與△BOF組成了以F點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，陰影部分的面積等于四分之一的圓的面積。

例6.如圖，正方形ABCD和正方形OEFG的邊長(zhǎng)均為4，O為正方形ABCD的對(duì)稱中心，求圖中陰影部分的面積。

以上是等積變形常見(jiàn)的三種形式，這三種形式由易到難，由淺入深。在解題中，不規(guī)則圖形題型多種多樣，但萬(wàn)變不離其宗，只要同學(xué)們認(rèn)真觀察，冷靜思考，運(yùn)用等積變形的規(guī)律，不規(guī)則圖形就會(huì)變得規(guī)則，復(fù)雜的問(wèn)題就會(huì)變得簡(jiǎn)單。

作者單位:廣東珠海市金灣區(qū)平沙二中