《二次函數(shù)的圖像及其應用》教學設計

● 教材分析

二次函數(shù)是最重要的初等函數(shù)之一，中學數(shù)學的很多問題最后都要劃歸為二次函數(shù)處理。二次函數(shù)的圖像和性質是解決二次函數(shù)問題的關鍵。靜態(tài)的圖像不便于揭示二次函數(shù)變化的規(guī)律，信息技術的引入正好可以幫助學生解決這一問題。

● 學生分析

學生在初中已學過二次函數(shù)的基本知識，到高中要繼續(xù)應用這些知識解決與二次函數(shù)有關的問題。含參數(shù)的二次函數(shù)問題，尤其是含參數(shù)的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題對學生來說是一個難點。利用操作簡便的幾何畫板軟件，可以幫助學生找到參數(shù)變化引起函數(shù)圖像變化的規(guī)律，從而突破難點。

● 教學目標

知識與能力目標:通過探究二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的參數(shù)a、b、c 的變化對圖像形狀的改變，掌握二次函數(shù)的圖像和性質，并能應用所學知識解決含參數(shù)的二次函數(shù)在給定范圍內的最值問題。

過程與方法目標:利用幾何畫板軟件搭建一個“數(shù)學實驗室”，利用計算機超強的計算功能和畫圖功能，在短時間內完成大量運算和作圖，從中探究數(shù)學知識的內在規(guī)律。從而達到理解、掌握、運用知識的目的;滲透“數(shù)形結合”的思想。

情感態(tài)度與價值觀目標:學生在自主學習的過程中，激發(fā)學習數(shù)學的自信心和積極性，培養(yǎng)不斷發(fā)現(xiàn)、探索新知的精神，提高觀察問題、分析問題的能力，增強勇于戰(zhàn)勝困難的勇氣。同時，增強應用信息技術的能力和意識。

● 教學重點

探究參數(shù)a、b、c的變化對函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像的影響。

● 教學難點

含參數(shù)的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題。

● 工具資源

設計課件以網頁形式呈現(xiàn)，交互性強，學生可以根據(jù)課件設計的步驟逐步深入學習，制作了“幾何畫板課件Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ”供學生選用，運用搭建的“數(shù)學實驗室”(即提供的幾何畫板平臺)，自主探究，突破難點，提高分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)自信心和實踐能力。

● 設施環(huán)境

網絡教室環(huán)境，學生人手一機。

● 教學過程

1.復習引入

師:二次函數(shù)y=2x2的圖像與y=-2x2，以及與y=-x2的圖像之間的關系是怎樣的?

生:開口方向、開口大小不同。

師:打開幾何畫板課件(I)，利用軟件畫出上述函數(shù)圖像(如圖1)，進行檢驗，并歸納得出x2前面系數(shù)的變化對圖像的影響。

生:x2前面系數(shù)的變化影響拋物線的開口方向和開口的大小。變化規(guī)律是:系數(shù)為正，開口向上，系數(shù)為負，開口向下;系數(shù)的絕對值越大，開口越小，反之則越大。

設計意圖:復習初中已學過x2前面系數(shù)的變化對圖像的影響，初步體會由特殊到一般的研究順序。

2.新課講解

(1)體驗二次函數(shù)圖像研究二次函數(shù)的性質、一元二次方程、一元二次不等式的便利。

教師示范畫y=x2-x-2的圖像，讓學生觀察其頂點、對稱軸、開口方向、與y軸交點情況。由圖觀察出方程x2-x-2=0的兩根，并觀察出 x2-x-2>0的解集。

改變系數(shù)，通過在幾何畫板上畫出函數(shù)圖像同樣能解決以上的求解方程和不等式的解的問題。

設計意圖:體會二次函數(shù)圖像對研究與一元二次有關的問題的重要性，從而激發(fā)學生對深入研究二次函數(shù)圖像的求知欲。

(2)探究二次函數(shù)的一次項系數(shù)的變化對圖像的影響。

師:請同學們在幾何畫板上畫出第一組二次函數(shù)

y=x2+2x-1

y=x2+8x-1

y=x2-4x-1

的圖像(如圖2)。探究一次項系數(shù)變化對圖像的影響。

生:一次項系數(shù)的變化使得拋物線對稱軸的位置發(fā)生變化，繼而使得頂點位置隨之發(fā)生變化。圖像與y軸的交點不變。

師:拋物線的開口方向和開口的大小如何變化?

生:拋物線的開口方向不變，開口的大小發(fā)生變化。

師:(對學生在此處的錯誤要及時糾正)拋物線的開口的大小實際上并未發(fā)生改變，直觀上的變化是因為頂點位置發(fā)生了上下移動引起的。

(3)探究二次函數(shù)的常數(shù)項變化對圖像的影響。

師:畫第二組函數(shù)

y=x2+2x-1

y=x2+2x+1

y=x2+2x+3

的圖像，探究常數(shù)項c的變化對圖像的影響。

生:常數(shù)項c的變化使得圖像與y軸的交點及頂點的位置發(fā)生改變，對圖像的對稱軸、開口方向及大小不會有影響。

(4)探究二次函數(shù)各項的系數(shù)連續(xù)變化對圖像的影響。

教師打開幾何畫板課件(Ⅱ)。演示a、b、c分別連續(xù)變化時y=ax2+bx+c圖像的變化(如圖3)。

師:請同學們以四人為一組在獨立思考的基礎上以小組為單位，動手利用幾何畫板課件(Ⅱ)探究a、b、c分別連續(xù)變化時y=ax2+bx+c圖像的變化規(guī)律，并完成以下練習題。

學生操作，并做練習題:

(用A、B、C、D、E填空)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像中，僅變化a時，變;不變。僅變化b時，變;不變。僅變化c時，變;不變。

A.開口方向B.開口大小C.對稱軸的位置D.頂點坐標 E.與軸交點

教師深入小組參與活動，傾聽學生的交流，重點指導完成操作。力爭讓學生自己操作、思考、總結，在不斷的摸索中找到問題答案。

設計意圖:此環(huán)節(jié)達到了一個小高潮，此處充分體現(xiàn)了現(xiàn)代信息技術處理動態(tài)圖形的優(yōu)勢，給學生以強烈的震撼:那么復雜的參數(shù)問題在此竟是如此的直白。

(5)分析圖像變化的原理。

師:請同學們將二次函數(shù)配方:y=ax2+bx+c=a(x+-)2+ —— 用系數(shù)表示出對稱軸:x=--，頂點坐標(--，——)，與y軸交點(0，c)，不難發(fā)現(xiàn)對稱軸與a、b有關，頂點坐標與a、b、c都有關，與y軸交點僅與c有關。

設計意圖:此環(huán)節(jié)達到了“畫龍點睛”的效果，學生會恍然大悟，不僅知其然，還知其所以然。

(6)應用舉例。

例:已知函數(shù)

y=x2-bx+1(0≤x≤1)，試用b表示函數(shù)的最小值。

師:這是一個含參數(shù)的二次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值的問題，0≤x≤1內，二次函數(shù)圖像只有一部分(如圖4)，隨著b的變化，這部分的圖像形狀也會發(fā)生改變，從而使最小值對應的位置也會發(fā)生變化，故需要討論。如何分類討論，通過動手實驗找出分類的標準。

圖4

生:畫動態(tài)的二次函數(shù)圖像，通過連續(xù)改變參數(shù)b的取值找到函數(shù)取得最值的位置，從而找到分類討論的分類標準。

師:回答的很好!說明你已經具備動態(tài)圖像的意識。下面請同學們以小組為單位動手在幾何畫板上畫出這個動態(tài)的二次函數(shù)圖像，或者打開幾何畫板課件(Ⅲ)，通過操作改變參數(shù)b的取值進而找出分類的標準，并完成此題。

教師深入學生指導，讓學生自己操作、思考，在摸索中找到問題答案。

展示學生解答。

解:函數(shù)頂點橫坐標為-，即對稱軸方程:x=-

當-≤0， 即b≤0時

在x=0時，ymin =1

當0<-<1， 即0

在x=-時，ymin=---+1=1--

當-≥1， 即b≥2時

設計意圖:提高學生應用知識解決實際問題的能力。

3.課堂練習

師:有了幾何畫板作為工具，可以幫助我們在短時間完成大量的變式練習，迅速提高解題能力。請同學們通過修改系數(shù)、改變參數(shù)b的位置、改變區(qū)間的端點等方式對此題加以改編，運用同樣的方法，進行變式訓練。

設計意圖:依靠變式提升演練水準，不僅提高運用二次函數(shù)圖像解決問題的能力，也提高應用信息技術輔助學習的能力。

● 教學反思

本節(jié)課利用數(shù)學軟件搭建一個“數(shù)學實驗室”，利用計算機超強的計算功能和畫圖功能，讓學生在短時間內完成大量運算和作圖，達到了教師的預期目標。

課堂上注重教師的示范、引導與學生的自主探究相結合，學生人手一機積極參與。在第一部分教學階段，從探究參數(shù)a、b、c的變化對函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像的影響，到自我歸納其中的變化規(guī)律，均由學生獨立探究完成。最后再由教師分析所得到的這種“規(guī)律”的理論依據(jù)，讓學生的形象思維上升到理性思維。

在第二部分教學階段，應用舉例，分析:在0≤x≤1內，二次函數(shù)圖像只有一部分，隨著參數(shù)b的變化，這部分的圖像形狀也會發(fā)生改變，從而使最小值對應的位置也會發(fā)生變化，故需要討論。如何分類討論，通過動手實驗找出分類的標準，滲透“數(shù)形結合”的數(shù)學思想。

課堂練習部分，通過改編例題，讓學生應用所學到知識解決問題，活學活用，強化本節(jié)知識。

二次函數(shù)是中學數(shù)學的熱門話題，很多問題最后都要劃歸為二次函數(shù)來解決，熟練掌握、運用二次函數(shù)圖像和性質始終是高中數(shù)學的一個重要內容。幾何畫板為數(shù)學搭建了一個“做數(shù)學實驗”的平臺，有助于學生更好地掌握數(shù)學知識，更深地理解數(shù)學思想。總之，本節(jié)課選擇了中學數(shù)學的一個既是重點又是難點的課題，借助于現(xiàn)代教育技術突出了重點，突破了難點。從課堂、課后學生的反饋來看，取得了較理想的效果。

反思不足之處:學生的主體突出不夠，教師講得太多;課堂練習部分設計開放得不夠，應放手學生自行改編例題，而不是將改編好了的題讓學生去做;課件制作有待進一步改進，交互性、開放性需加強，內容還可以更豐富一些。

點評

二次函數(shù)是中學數(shù)學的重要章節(jié)，是體現(xiàn)數(shù)形一一對應的數(shù)學思想的典型內容。數(shù)學中的許多二維問題均可劃歸為二次函數(shù)來解決。因此，二次函數(shù)是中學數(shù)學的一個十分重要的教學內容。

教者充分利用幾何畫板的功能，搭建了一個“數(shù)學實驗室”。在網絡環(huán)境下，通過教師的示范，引導學生觀察二次函數(shù)的頂點、對稱軸、開口方向與y軸交點的情況;在此基礎上讓學生親自操作幾何畫板，先后畫出兩條不同的二次函數(shù)曲線，分別探究一次項系數(shù)和常數(shù)項的變化對圖像的影響，進而探究出曲線和最值變化的規(guī)律。是一次揚信息技術之優(yōu)，充分體現(xiàn)數(shù)學學科特征的好的實踐。

教者在教學過程中堅持了數(shù)學思想的學習和實踐。數(shù)形結合是數(shù)學學科的重要特征之一。教者利用幾何畫板軟件的快速計算功能和超強畫圖功能，在45分鐘內多次完成二次函數(shù)的作圖任務，迅速地實現(xiàn)二次函數(shù)圖形隨著a、b、c參數(shù)的變化而變化的教學過程，讓學生身臨其境地觀察到參數(shù)與圖形一一對應的變化關系。

教者在教學過程中堅持了以學生為主體的教學思想，幾何畫板軟件是定性定量結合分析研究數(shù)學的一個好工具，教者設置問題，學生操作軟件。在數(shù)學實驗室里，學生親眼看見參數(shù)在變、曲線在變，反復實踐，親身感受了二次函數(shù)的變化規(guī)律，師生共同探討二次函數(shù)最值形成的規(guī)律。實現(xiàn)了知識、能力雙豐收，經歷作圖過程，體驗幾何畫板的操作方法，掌握用“幾何畫板——數(shù)學實驗室”來學習二次函數(shù)的方法，滿足了學生的深入探究的心理，培養(yǎng)了他們不斷發(fā)現(xiàn)、探究知識的精神，執(zhí)教者和學生在幾何畫板搭建的數(shù)學實驗室中，認真學習和實踐數(shù)形結合的數(shù)學思想。

(點評人:江蘇省南京市電化教育館#8195;NOC活動評委#8195;洪禮彬)