提煉基本幾何圖形 加強幾何有效教學

《數(shù)學課程標準》在幾何方面的學習要求學生“能從較復雜的圖形中分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關系，利用直觀來進行思考”，在初中幾何的學習中，計算、推理和證明的依據(jù)是概念和定理。而每一個概念、公理和定理總是對應著一個剔除了無關信息的直觀圖形，如：三角形的中位線是連接三角形兩條邊的中點的線段(概念)，三角形中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半(定理)，與此對應的直觀圖形如圖1所示；等腰三角形底邊上的中線、高線和頂角的平分線三線合一(定理)，與此對應的直觀圖形如圖2所示，顯然，圖1和圖2沒有人為設置障礙線段即無多余線段，是能完整而又全面反映上述兩個定理內容所必需的最簡圖形，稱像這種與概念、公理、定理相對應的最簡直觀圖形為基本幾何圖形，是幾何概念、公理和定理的載體，這樣就建立了一個幾何概念、公理或定理與基本圖形的對應關系，可以由定理聯(lián)想圖形，也可以由圖形聯(lián)想定理，實現(xiàn)直觀與抽象的有機轉換。

歐氏幾何與非歐幾何的顯著區(qū)別之一就是歐氏幾何的計算和證明不能避開直觀的幾何圖形進行純邏輯推理。必須以直觀圖形為載體，在幾何計算和證明的實踐活動中，圖形往往是紛繁復雜、千變萬化的，從而使學生在解題過程中難以抓住圖形的本質和重點，對題目所給信息不能正確提取和重組。找不到解決問題的突破口而無從下手或者思維混亂，這是造成學生覺得幾何難學的主要原因，但是，任何一個復雜的幾何圖形都是由相關的基本圖形所構建、整合而成的，也就是說一個幾何題往往是多個知識點的有機整合，因此，對復雜圖形進行合理分解從中分離出基本圖形，然后根據(jù)基本圖形去聯(lián)想由圖所對應的概念、公理或定理所需的條件以達到對題目所給條件的正確組合，可以為學生尋找解題的突破口提供線索，這種“模塊化”的思維方式，可以有效防止無關信息干擾，快速凸顯解題突破口。提高思維的敏捷性，所以在平面幾何的教學中應該重視基本幾何圖形的提煉與應用。

有調查表明：83％的學生認為“幾何較難”，其中因為幾何概念多、定理和性質容易混淆的占31％，幾何的入門學習中概念的學習尤其重要，因為他們是定理學習的基礎，準確地識記概念和熟練地運用定理，這是“雙基”的要求，在抓好“雙基”的基礎上，要努力培養(yǎng)學生解決問題的能力，培養(yǎng)創(chuàng)新精神，實踐表明，運用幾何基本圖形教學，建立知識點和基本圖形對應關系，由定理(或概念)聯(lián)想圖形，由圖形聯(lián)想定理(或概念)，實現(xiàn)直觀與抽象的有機轉換，促進學生幾何思維能力和解題經(jīng)驗的發(fā)展，是提高幾何教學質量的有效措施。

1 重視概念，夯實基礎，利用基本圖形理解和記憶概念

幾何的學習是從概念開始的，與定義、概念相對應的圖形稱為概念型基本圖形，如下表1：

幾何概念和代數(shù)概念的顯著區(qū)別就在于幾何概念以陳述性概念為主，且它的定義必須以直觀圖形為基礎，所以，幾何概念教學尤其要重視概念理解與基本圖形的認知相結合，可以按如下步驟進行：畫圖；揭露本質；圖形變式，

案例1鄰補角的概念教學

第一步：給出相關情境，讓學生從中感受鄰補角：

第二步：從情境中提煉出基本圖形，并讓學生自己動手畫出如下圖3：

第三步：結合基本圖形，揭露概念的本質；

第四步：圖形變式，辨別真?zhèn)危缦聢D4：

學生通過情境感受鄰補角，經(jīng)歷了畫鄰補角的過程，在交流中理解鄰補角的概念，在變式中領悟和提煉基本圖形，實現(xiàn)了圖與概念的統(tǒng)一，也就能從復雜圖形中識別出鄰補角。

2 立足定理，重視能力。利用基本圖形破解解題思路

公理和定理的運用在推理中起決定性作用，與公理或定理相對應的圖形稱為定理型基本圖形，例如：

(1)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，角的內部到兩邊距離相等的點在角的平分線上，如圖5。

(2)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，到線段兩端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上，如圖6。

(3)垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧，如圖7。

定理型基本圖形較概念型基本圖形要復雜得多。往往是多個概念性基本圖形的有機整合，如果再把圖形又置于復雜的幾何綜合題中。學生很難避開干擾圖形看到問題的本質，導致解題困難，所以，定理型基本圖形的提煉和反復操練十分重要，

案例2探究垂徑定理

第一步：提供問題情境，如何將圓形紙片的一條弦平分(不借助工具)，見圖8。

第二步：在活動中，讓學生開動腦筋，思考起來，做起來。理解“折疊”的過程。

第三步：在交流中，老師與學生共同探討“折痕”的本質，畫出圖形，如圖9，并證明。

第四步：例題與練習，引導學生去發(fā)現(xiàn)計算和證明真正起決定作用的圖形，如圖10。

第五步：在練習的基礎上進行經(jīng)驗總結，提煉出兩種基本圖形，如圖9和圖10。

提煉定理型基本圖形建立了定理與圖形的對應關系，定理圖形化便于記憶，減少了記憶單元，便于從復雜圖形中聯(lián)想解決問題的相關知識點，利于復雜圖形分解，打開解題思路。

因此，教師在幾何定理教學中要讓學生結合基本圖形來掌握定理，加深學生對基本圖形的認知，幫助學生建立圖形與定理的密切聯(lián)系，在引導學生對復雜圖形進行拆積木式的分解過程中，能訓練學生的識圖能力，有利于能力的遷移。有利于在復雜圖形中快速找到解題的思路。

3 精練習題，總結經(jīng)驗，利用基本圖形尋找解題規(guī)律

《數(shù)學課程標準》過程性目標要求：“學生在特定的數(shù)學活動中，獲得一些初步的經(jīng)驗；參與特定的數(shù)學活動，在具體情境中初步認識對象的特征，獲得一些經(jīng)驗……”學生在幾何解題過程中，要善于去發(fā)現(xiàn)問題的共性，及時總結形成自己的經(jīng)驗。

在書本例題、習題和平時考試中經(jīng)常出現(xiàn)的建立在同一圖形結構上的幾何題，他們所包含的部分幾何圖形的本質完全相同，稱具有共同本質而出現(xiàn)頻率較高的圖形為經(jīng)驗型基本圖形，例如：被刪掉的射影定理及面積相等法。如圖11所示；一對有用的相似三角形△ABC～△CDE，如圖12所示。

幾何問題是千變萬化的，但是“萬變不離其宗”!“熟能生巧”是幾何學習的一條很有用的規(guī)律，巧的實質是理解其“宗”，所以，教師要在解題中不斷引導學生進行解題回顧與反思，總結通法，明確算法流程，提煉解題所需的基本圖形，有效促進解題思維定式的正遷移。從而提高解題效益。

幾何教學實踐表明，教師注重幾何基本圖形的提煉并訓練學生運用幾何基本圖形來理解和記憶幾何的定理與性質以至課本上的例題、重要習題，效果非常明顯，記憶的準確性和牢固性都得到了很大改善，同時，幾何圖形的視覺記憶會隨著不同的幾何場景，進行定向回憶和自動提取。有效地促進遷移能力的形成，有助于打開解題思路，找到解題線索，提高解題速度，可以說，“一張基本圖形勝似千言萬語”。