試論美學在高中數學教學中的運用

眾所周知，數學在我們的基礎教育中占有很大的分量，是我們的文化中極為重要的組成部分，她不但有智育的功能。也有其美育的功能，下面從幾個方面來欣賞數學美。

一、簡潔美

愛因斯坦說過：“美，本質上終究是簡單性，”他還認為，只有借助數學，才能達到簡單性的美學準則，物理學家愛因斯坦的這種美學理論，在數學界，也被多數人所認同，樸素、簡單是其外在形式，只有既樸實清秀，又底蘊深厚，才稱得上至美，歐拉給出的公式：V-E+F=2，堪稱“簡單美”的典范，世間的多面體有多少?沒有人能說清楚，但它們的頂點數V、棱數E、面數F，都必須服從歐拉給出的公式，一個如此簡單的公式，概括了無數種多面體的共同特性。能不令人驚嘆不已嗎?由它還可派生出許多同樣美妙的東西，如：平面圖的點數V、邊數E、區域數F滿足V-E+F＝2，這個公式成了近代數學兩個重要分支——拓撲學與圖論的基本公式，由這個公式可以得到許多深刻的結論，對拓撲學與圖論的發展起了很大的作用，用幾個定理是不足以說清的，數學歷史中每一次進步都使已有的定理更簡潔，正如偉大的希而伯特曾說過：“數學中每一步真正的進展都與更有力的工具和更簡單的方法的發現密切聯系著。”

二、和諧美

數論大師賽爾伯格曾說過，他喜歡數學的一個動機是以下的公式：π/4=1-1/3+1/5…，這個公式實在美極了，奇數1，3，5，…這樣的組合可以給出π，對于一個數學家來說，此公式正如一幅美麗的圖畫或風景，歐拉公式：e^iπ=-1，曾獲得“最美的數學定理”稱號，歐拉建立了在他那個時代，數學中最重要的幾個常數之間的絕妙的有趣的聯系，包容得如此協調、有序，與歐拉公式有關的棣美弗一歐拉公式是cosθ+isinθ=eiθ(1)。這個公式把人們以為沒有什么共同性的兩大類函數——三角函數與指數函數緊密地結合起來了，對它們的結合，人們始則驚詫，繼而贊嘆——確是“天作之合”，因為，由他們的結合能派生出許多美的，有用的結論來，和諧的美，在數學中多得不勝枚舉。

三、奇異、突變美

全世界有很大影響的兩份雜志曾聯合邀請全世界的數學家們評選“近50年的最佳數學問題”，其中有一道相當簡單的問題：有哪些分數形如ab/bc，不合理地把b約去得到a/c，結果卻是對的?

經過一種簡單計算，可以找到四個分數：16/64，26/65，19/95，49/98，這個問題涉及“運算謬誤，結果正確”的歪打正著，在給人驚喜之余，不也展現了一種奇異美嗎?

常數e由0.999變為1、變為0.001，相差很小，形成的卻是形狀、性質完全不同的曲線，而這幾種曲線又完全可看作不同的平面截圓錐面所得到的截線，

橢圓與正弦曲線會有什么聯系嗎?做一個實驗，把厚紙卷幾次，做成一個圓筒，斜割這一圓筒成兩部分，如果不拆開圓筒，那么截面將是橢圓，如果拆開圓筒，切口形成的即是正弦曲線，這其中的玄妙是不是很奇異、很美呢?

無序的混沌狀態，通常以為不可用數學來研究，可從確定的現象(一個二次函數λx(1-x))通過迭代居然能產生出隨機現象，也就是說無序的混沌狀態，竟然可以從一個二次方程的迭代產生出來，這就把兩種完全不同類型的數學問題溝通起來了，這深刻的發現。使人不禁感嘆大自然規律的神奇。

四、對稱美

在古代，“對稱”一詞的含義是“和諧”、“美觀”，事實上，譯自希臘語的這個詞，原意是“在一些物品的布置時出現的般配與和諧”，畢達哥拉斯學派認為，一切空間圖形中，最美的是球形：一切平面圖形中，最美的是圓形，圓是中心對稱圓形——圓心是它的對稱中心，圓也是軸對稱圖形——任何一條直徑都是它的對稱軸，對稱美的形式很多，對稱的這種美也不只是數學家獨自欣賞的，人們對于對稱美的追求是自然的、樸素的，如格點對稱，14世紀在西班牙的格拉那達的阿爾漢姆拉宮，存在所有的格點對稱，而1924年才證明出格點對稱的種類，此外。還有格度對稱，如我們喜愛的對數螺線、雪花，知道它的一部分，就可以知道它的全部。李政道、楊振寧也正是由對稱的研究而發現了宇稱不守恒定律，從中我們體會到了對稱的美與成功。

五、創新美

歐幾里得幾何曾經是完美的經典幾何學，其中的公理5：“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”和結論“三角形內角和等于兩個直角”，這些似乎是天經地義的絕對真理，但羅馬切夫斯基卻采用了不同公理5的結論：“過直線外一點至少有兩條直線與已知直線平行”，在這種幾何里。“三角形內角和小于兩個直角”，從而創造了羅氏幾何，黎曼幾何學沒有平行線，這些與傳統觀念相違背的理論，并不是虛無縹緲的，當我們進行遙遠的天文測量時，用羅氏幾何學是很方便的，原子物理、狹義相對論中也有應用；而愛因斯坦建立的廣義相對論中，較多地利用了黎曼幾何這個工具，才克服了所遇到的數學計算上的困難，每一個理論都需要不斷創新，每一個奇思妙想、每一個似乎不合理又不可思議的念頭都可能開辟新的天地，這種開闊了我們的視野、開闊了我們心胸、給我們完全不同感受的難道不是切入肌膚的美嗎?如果我們再大膽設想一下，是不是還存在一個能包容歐氏幾何和非歐幾何的更廣泛的幾何學呢?事實上，通過高斯曲率可以將三種幾何統一在曲面的內在幾何學中，還可以通過克萊因幾何學與變換群的觀點將三種幾何統一起來，在不斷創新的過程中，數學得到了發展。

數學之美，還可以從更多的角度去審視，而每一側面的美都不是孤立的，她們是相輔相成、密不可分的，她需要人們用心、用智慧深層次地去挖掘，更好地體會她的美學價值和她豐富、深邃的內涵和思想，及其對人類思維的深刻影響，如果在學習過程中，我們能與數學家們一起探索、發現，從中獲得成功的喜悅和美的享受，那么我們就會不斷深入其中，欣賞和創造美。