臺秤示數的最小值是出現在擺球的最高點嗎

如圖1所示，一質量為M的人站在臺秤上，手拿一質量為m懸線長為R的小球，使小球在豎直平面內做圓周運動，且擺球正好能通過軌道最高點，求臺秤示數的變化范圍分析與解答:

臺秤所示的數值是人對臺秤的壓力，因此示數應等于人的重力加上或減去懸線中拉力在豎直方向的分力，小球處于圓周下半周時，懸線對人的拉力方向是向下的，小球運動至最低點時，懸線對人的拉力最大，且方向豎直向下，故此時臺秤示數最大。小球處于圓周上半周時，懸線對人的拉力方向是向上的，據題意擺球正好能通過軌道最高點，小球在最高點時懸線中的拉力為零。很多同學認為臺秤示數的最小值出現在此位置，認為最小值就等于人的重力Mg，出現了認識上的誤區。之所以出現這樣的錯誤與我們平時分析豎直平面圓周運動總是分析最高點和最低點分不開，導致知識上的負遷移。仔細分析擺球的運動，在圓周運動上半周除最高點，懸線對人的拉力方向是斜向上的，都有豎直方向的分量，可知臺秤示數的最小值肯定不會出現在擺球的最高點，且一定比人的重力小，臺秤示數最小的位置應在上半圓周上的某一點。

由以上分析可知，小球在最低點時臺秤的示數最大，由機械能守恒定律得:mv2=mv02+2mgR。

其中v0=是小球恰過最高點的速度。

由此可得v=。

由T-mg=m得

T=6mg，

知懸線對人向下的拉力為T'=6mg，

臺秤的最大示數為Fmax=T'+Mg=(6m+M)g。

當小球經過圓周上半周時，如圖2所示，即懸線與豎直方向夾角為θ時，設其速度為v1，則有

mv12=mv02+mgR(1-cosθ)，

T1+mg cosθ= m，得T1=3mg(1-cosθ)。

其豎直方向的分力

T1y= T1 cosθ=3mgcosθ-3mgcos2θ，

即T1y=-3mg(cosθ-)2+0.75mg，

所以當cosθ=即θ=60O時，

臺秤的示數最小，此時T1ymax=0.75mg，

故臺秤的最小示數為Fmin=Mg-T1ymax=(M-0.75m)g。

點評:本題從能的角度討論臺秤的示數范圍，當擺球在豎直平面內做圓周運動時，擺球在不同位置上對人的拉力并不一樣，因此臺秤的示數也不一樣。需特別注意，臺秤的最小示數不是出現在擺球的最高點上，而是在上半周懸線與豎直方向夾角為60O的位置上。

(樂亭縣湯家河高中)