立足教材,培養思維,提高能力

在數學教學中教師既要使學生掌握基礎知識和基本技能，又要培養學生的數學能力。“數學能力的核心是數學思維能力”，由于數學思維的能力取決于數學思維的品質，故培養學生的數學思維品質是數學的一項重要任務。因為課本是教師的主要依據，所以我注意深鉆教材，充分發揮教材潛在的智能功能，培養學生的數學思維品質，提高學生的數學能力。

整體思想是一種基本的數學思想，它是將問題看成一個完整的整體，通過研究問題的整體形式、整體結構，在對整體處理后迅速而簡便地解決問題。我注意充分挖掘教材中的整體因素，逐步介紹整體思維的方法和技巧，提高學生運用整體思維解答問題的能力。例如:“直平行六面體的底面是菱形，過不相鄰的兩對側棱的截面的面積是Q■和Q■，求它的側面積。”我在分析中指出，由于S■=4αh，而由條件不易分別求出α、h，但將αh作為一整體，則容易求出，這就是用整體代換來解決問題。例如:“求cos40°cos80°+cos80°cos160°+cos160°cos40°的值。”我引導學生用整體改造的辦法去求:令X=cos40°cos80°+cos80°cos160°+cos160°cos40°，Y=sin40°sin80°+sin80°sin160°+sin160°sin40°，則可得方程組:

X+Y=-■+cos20°X-Y=-■-cos20°，

解此方程組，即可求出X。

學生對于數形結合的思想并不陌生，但他們雖能夠用“數的觀點”去解答“形的問題”，卻不會用“幾何圖形”去解決“數的問題”，我在教學中注意加強這方面的訓練。如講了斜率公式和直線的方程后，讓學生重新證明“已知asin(θ+α)=bsin(θ+β)，求證:tgθ=■。”他們先觀察要證的等式的結構特點，很快發現和斜率公式類似，于是想到利用斜率公式證明，進而想到要證明點(acosα，bsinβ)、(bcosβ，asinα)在一條斜率為tgβ的直線上。我引導學生將已知等式展開，并令其值為C，得:

asinθcosα+acosθsinα=bsinθcosβ+bcosθsinβ=c

由上式得出兩個等式:

acosαsinθ-bsinβcosθ-c=0bcosβsinθ-asinαcosθ-c=0

他們從這兩個等式看出點(acosα，bsinβ)、(bcosβ，asinα)都在直線Xsinθ-Ycosθ-c=0上。至此，學生找出了用幾何圖形解決代數問題的途徑。

2.發展求異思維，鼓勵創新精神。

求異思維是根據一定的知識或事實求得某一問題的各種可能答案的思維，它在思維的創造性中起著主導作用。我注意充分挖掘教材中的求異因素，尊重學生的獨創見解，鼓勵他們探索創新。例如“用兩種方法證明:三點A(-2，12)、B(1，3)、C(4，6)在同一條直線上。”這道題雖然簡單，但包含求異因素。我利用它開展“多解競賽活動”，要求學生互不討論，盡自己的能力找出多種解法。他們從不同角度，不同的方面去分析，找出了九種解法:(1)證明|AB|+|BC|=|AC|;(2)證明點B在直線AC上;(3)證明直線AB、AC的夾角是0;(4)證明∠ABC=π;(5)證明直線AB、AC的方程相同;(6)證明點C到直線AB的距離等于0;(7)證明直線AB、AC的斜率相同;(8)證明△ABC的面積等于0;(9)證明點B是有向線段AC的一個定比分點。這些證法充分體現了學生的創新精神，我在講評時大加贊揚，并使他們認識到即使一道簡單題，只要深入鉆研，也會獲得很大收益。

3.將原有問題開拓引申，擴大學生創造性思維活動的領域。

我經常將教材上的一些例題、習題的條件或結論開拓引伸，得出一系列具有一定深度的問題，引導學生深入鉆研，使他們的創造性思維活動范圍更加廣泛。

例如:平面內幾條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，證明交點的個數F(n)=■n(n-1)。這是一道用數學歸納法證明的例題，我講完這種證法后，編擬了下面六道題，讓學生進行思考:

(1)平面內有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，試求它們交點的個數F(n)。

(2)平面內有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，試求它們把平面分成的塊數S(n)。

(3)空間內有n個平面，其中任何兩個不平行，任何三個不過同一條直線，試求它們交線的條數F(n)。

(4)空間內有n個平面，其中任何兩個不平行，任何三個不過同一條直線，試求它們把空間分成的部分數S(n)。

(5)平面內有n個圓，其中任何兩個都相交，任何三個不過同一點，試求它們交點的個數P(n)。

(6)平面內有n個圓最多將平面分成多少個部分?

其中(1)是引導學生追溯原題的結論來源，掌握找交點的規律;(2)是引導學生將(1)得出的找交點方法引伸發展;(3)和(4)是使學生通過類比聯想，將二維空間問題向三維空間推廣;(5)和(6)是使學生在新問題情境中，創造性地運用已掌握的方法。

又如在學生解答:“已知a、b、c∈R■，求證:(■+■+■)(■+■+■)≥9”后，我繼續讓他們解答下面的題目:

(1)已知X，Y，Z∈R■，求證:(X+Y+Z)(■+■+■)≥9。

(2)已知X，Y，Z∈R■，(X+Y+Z)=1，求證:(■+■+■)≥9。

(3)已知X，Y，Z∈R■，求證:(■+■+■)≥■。

(4)已知X，Y，Z∈R■，且X+Y+Z=1，(3)中的結論有何變化?還能得一些怎樣的不等式?

(5)在△ABC中，求證:(■+■+■)≥■。

(6)已知X■∈R■(i=1，2…n)，求證:(X■+X■+…+X■)(■+■+…+■)≥n■

在這組題中，(1)是原題的直接變形，式子簡單明了，便于掌握和應用;(2)是加強(1)的條件，得出新的結論;(3)是靈活加強(1)進行證明;(4)是加強(3)中的條件，研究結論的變化;(5)是(1)在幾何中的應用;(6)是(1)的一般變化。通過改變原題的條件和結論，得出的這組題，脈絡清晰、關系密切、思路流暢、規律性強，有利于學生發揮創造性的思維。

四、引導學生進行解題后的回顧，培養學生數學思維的批判性

引導學生在解題后進行回顧、總結，研究解題過程，能培養他們在思維活動中，善于嚴格地估計思維材料和精細地檢查思維過程的能力，這就培養了他們數學思維的批判性。

1.引導學生評價解題思路、方法，選擇最佳解法。

在批改作業時，我收集了學生解答“過點A(0，■)向圓X■+Y■=5引兩條切線，求它們的方程”所用的三種解法:(1)設切線方程為Y-■=KX，先利用判別式求K，再求切線的方程;(2)設切線方程為Y-■=KX，先利用圓心到切線的距離等于圓的半徑求K，再求切線方程;(3)設切點坐標為(X■，Y■)，則切線方程為X■X+Y■Y=5，由點(0，■)在切線上和點(X■，Y■)在圓上得方程組■y■=5x■■+Y■■=5，解此方程組，求出X■，Y■，再求切線方程。為了比較這三種解法，我再出了下列兩道題讓學生解答:

(1)過點B(■，1)向圓X■+Y■=5引兩條切線，求它們的方程。

(2)過點C(4，5)向圓(X-1)■+(Y-2)■=5引兩條切線，求它們的方程。

然后引導學生對上述三種解法進行比較，他們發現:對于求圓心在任意位置的圓的切線方程，一般考慮用第(1)、(2)兩種解法，但這兩種解法只能求出和X軸不垂直的切線方程。求圓心在原點的圓的切線方程，一般用第(3)種解法，當圓心不在原點時，用第(3)種解法求切線方程時，運算量大。

經常引導學生評價解題思路、方法，能使他們善于調整思路，尋求最佳途徑，簡化解題過程。

2.引導學生更全面、更深刻地理解問題，發現帶規律性的結論。

學生解答“化簡(1)sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ;(2)cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ;(3)cos(36°+X)+cos(54°-X)-sin(36°+X)sin(54°-X);(4)sin(70°+α)+cos(10°+α)-cos(70°+α)sin(110°-α)”后，我請他們談解題后的體會。學生的普遍認識是:逆用公式，把一個“長式子”化成一個“短式子”，使函數式簡化了。我肯定這些認識是正確的，進一步啟發學生“逆向”研究化簡過程，能看得出一些什么規律?大家通過仔細觀察后發現α=α-β+β=α+β-β，90°=(36°+X)+(54°-X)，60°=(70°+a)-(10°+a)，我因勢利導，要求學生設計2α、3α、α+2β的變形，掌握角的變換方法，以后就能簡潔地證明。

通過長期的教學實踐，我深刻地認識到:在講授新課時，充分發揮教材的作用，培養學生的數學思維品質，能促使學生重視雙基，善于思考。