論函數的性質

摘要：函數在數學及實際生活中有著廣泛的應用，在我們身邊就存在著很多與函數有關的問題，而學生很難在整體上把握好。嘗試以現代教學思想來編排講授這一內容，能夠使學生的思維暢通。

關鍵詞：函數的值域； 函數最值

函數在數學及實際生活中有著廣泛應用，適于激發學生學習數學的興趣和積極性，陶冶學生的情操。上述這樣的數學問題在我們身邊有很多，只要你注意觀察、積累，并學以致用，就能成為一個聰明人，因為數學可以使人聰明起來。

一、 定義

我們可以從方程的角度理解函數的值域，如果我們將函數y=f(x)看做是關于自變量x的方程，y在值域中任取一個值 y0，y0對應的自變量x0一定為方程 y0=f(x)在定義域中的一個解，即方程在定義域內有解；另一方面若方程在定義域內有解，則一定為對應的函數值。從方程的角度，函數的值域即為使關于X的方程在定義域內有解的取值范圍，如變形得X，方程在定義域內有解的條件即為函數的值域。

二、 求法

利用函數的單調性觀察分析；利用互為反函數的定義域與值域的互換關系；利用配方法；利用換元法；利用判別式法；利用函數圖像數形結合等。這些方法分別具有極強的針對性，每一種方法又不是萬能的，要順利解答求函數值域的問題，必須熟練掌握各種技能技巧，根據特點選擇求值域的方法。這些解題思想與方法貫穿了高中數學的始終，而學生在學習這些知識的過程中，教師在不同階段零零星星的講解，學生感到變化較大，很難在整體上把握好。嘗試以現代教學思想來編排講授這一內容，能夠使學生的思維暢通，創新思維、發散性思維得到訓練和提升，激活了學生思維，激活了課堂；同時也培養了學生善于比較、辯證解題的科學認知的數學素質。

三、 應用

運用函數的值域解決實際問題關鍵是把實際問題轉化為函數問題，從而利用所學知識去解決。求函數值域從以下幾個方面考慮：

(1)求使反函數x=f(y)有意義的y的范圍，該方法不受函數有無反函數的限制，只要用反表達式x=f(y）求即可而不管是否有反函數，當已知函數定義域有限制時，則問題會變得復雜。變成了求范圍的問題，有時也用這種方法求函數最值。

(2)換元(格外注意元的范圍)或看成幾個簡單函數的復合 ，再分層次分析簡單函數。

(3)利用單調性結合定義域。這需要對函數的單調性較敏銳，能夠想到或觀察到函數的單調性。

(4)利用圖像。此方法適用于圖像容易畫出的一些基本初等函數（冪函數、指數函數、對數函數、三角函數），這需要對一些基本的函數圖像掌握得比較扎實。

(5)用均值不等式。 用不等的一些性質，把求函數值域的方法作系統講解，能幫助學生在學習中創新，在創新中學習，為學生在學習中能更好地分析問題、解決問題提供理論基礎。嘗試以現代教學思想來編排講授這一內容，能夠使學生的思維暢通，創新思維、發散性思維得到訓練和提升。

（唐山市豐南第一中學）