巧記特殊角三角函數值的幾種方法

摘 要： 本文作者根據教學實踐，對三角函數常見的特殊角三角函數值的記憶方法進行了研究。

關鍵詞： 特殊角三角函數值 數形結合 函數圖像 函數單調性

高一下學期一開始，教學內容就進入了三角函數。這一節公式很多，需要記憶的東西很多，但是只要學生能夠每天定時定量地練習題目，公式自然能夠熟練應用，而且爛熟于心。而且學生本身對公式也比較重視，因為公式的各種靈活運用，能夠激發學生的興趣。他們做完一道題目之后，會互相討論，看還有沒有其他方法。這源于筆者平時在教學過程中不斷地鼓勵學生去思考、去總結，不但要學會，而且要會學；把新課標強調的“提高學生自主學習能力和探究學習能力”這一思想。盡管公式學生已經很熟悉了，但是仍有學生會在三角函數的題目上卡住。為什么呢？因為這一節還出現了大量的特殊角，如30°，45°，120°，甚至還有75°。學生覺得特殊角不如公式靈活，只能去死記硬背。因為對特殊角不熟悉，導致他們看到，卻不知道這就是tan60°；看到cos120°，還要苦想該用哪個誘導公式來誘導。雖然他們不止一次地體會到特殊角的重要性，但是他們仍不能接受硬背這樣傳統的學習方法。隨著高一課程的結束，高二的解析幾何、立體幾何中仍舊會出現這些特殊角。現在學生若是沒有記住，到了高二的時候怎么辦？

針對這個問題，筆者查閱了很多資料，大概是這個問題基本都是靠硬背來解決，因此所能找到的資料甚少。一個偶然的機會，筆者看到學生在算sin30°的時候，畫了一個30°的直角三角形，很顯然這個方法不能解決sin210°，但是筆者還是表揚了這個學生，因為他在想辦法解決問題。這個發現使筆者體會到，通過高一上函數部分的強化，學生現在已經有了畫圖解決問題的思想，能不能用數形結合的辦法來解決這個一直讓學生比較頭痛的問題呢？其實學生在特殊角這部分暴露的問題很明顯，對［0，90°］范圍內的角度接觸時間較久，比較熟悉，只是對高中階段才推廣的“大”角比較陌生。通過跟學生共同探討，筆者發現以下幾個方法比較適用。

一、利用三角函數圖像

y=sinx， y=cosx， y=tanx的圖像，在教材里面有三節內容，對它們的圖像和性質研究是三角函數部分的重點內容。因此，若學生產能夠畫出它們的圖像，不要說cos150°，哪怕是sin225°，或者是更大的角，也能夠一眼看出。但這種方法的前提條件是，學生必須得記住這三個三角函數圖像。

二、 利用直角坐標系

以sin225°為例，在平面直角坐標系中，畫出225°所在的終邊，再做出它的延長線，這樣在第一象限內就出現了一個以它的延長線為終邊的角，而此時學生就可選取非常熟悉的45°為此延長線的代表角。接下來做的事情，只需在延長線上取點P（x，y）。由圖像可知，兩線關于原點對稱，故此，兩線上的點的縱橫坐標均互為相反數，則在原線上可以作出P點關于原點的對稱點P′（x，y），由任意角三角函數的定義即可得出sin225°==- =- sin45°=- 。通過剛才的推導過程，也可以得出這樣的結論：若兩角的終邊關于原點對稱，則它們的正弦值（或余弦值）互為相反數。這個結論的得出，讓學生知道了第三象限的角與他們熟悉的［0，90°］的角的關系，自然他們想到了第二象限和第四象限。

通過剛才的推導可知：若兩角終邊關于y軸對稱，則它們的余弦值互為相反數，正弦值相等。從另一個方面來看，這兩個角為互補的關系，所以剛才得出的結論也可敘述為：互補的兩角正弦值相等，余弦值相反。第四象限的角推導過程與上述過程類似。通過作出其關于x軸的對稱軸可知：若兩角終邊關于x軸對稱，則它們的余弦值相等，正弦值互為相反數。

綜上可知，若要解決特殊角的三角函數值，只需要在坐標系中，畫出它的終邊所在的位置，通過做它關于原點（或x軸、或y軸）對稱線，找出第一象限我們非常熟悉的角，判斷出符號即可。

三、利用函數單調性

對于某些連［0，90°］都記不住的學生，除了用本文一開始提出的畫特殊三角形以外，還可以利用三角函數本身的單調性。由于特殊角的三角函數值只有幾個數值：0，，，，1，聯系y=sinx在［0，90°］內單調遞增，故對號入座，sin0°=0，sin30°=，sin45°=，sin60°=，sin90°=1，相應余弦值則可通過直角三角形里得出的結論，互余的兩角正余弦值互換得到。對于數值比較麻煩的15°和75°，我們可以通過構造成兩角和或兩角差的方法，快速算出它們對應的三角函數值。

筆者提出了這幾個方法后，很多學生都不再覺得特殊角三角函數值很難背了。究其原因，是在筆者提出的方法的基礎上，他們非常熟練地運用函數圖像、函數單調性等函數知識。這些方法中所涉及的數形結合思想，鍛煉了他們的數學思維能力，記憶的過程也成為了他們思考問題的過程。學生覺得學有所得，學有所用，這些特殊角三角函數值的記憶過程不再是枯燥無趣的幾個數字，而是生動形象的圖像、函數知識。而且，在這一過程中所涉及的數形結合方法，其本身就是高中數學階段重要方法之一。

參考文獻：

［1］劉瑞華.數學教師從哪兒入手指導學生“會學”.中學數學教學參考，2009，4，中旬.