盒球數的性質及其在熵序中的應用

摘 要： 本文通過討論“盒子分小球”的一個排列組合數學，建立盒球數概念和熵序概念，然后對其概念性質作出證明和對熵序值進行計算，最后指出了熵序在系統中的物理意義。本研究旨在通過對一種復雜的計算系統建立一個度量，簡化其計算方法。

關鍵詞： 盒球數 熵 熵序 系統

1.盒球數

1.1盒球數的概念

在引入盒球數之前，筆者先給出一個“盒子分小球”的排列組合問題。簡單地說，“盒子分小球”問題就是現在有n個沒有區別的小球隨機的放到k個盒子中去，有多少結果？（n是自然數，k是正整數，下同）

對該問題詳細闡釋一下，一共有n小球，k個盒子，假設盒子足夠大，小球足夠小，也就是說一個盒子可以裝無限多個小球，每個盒子都可以把n個小球全部裝完，不用擔心小球裝不下的問題。現在我們把全部小球隨機放到每個盒子當中，每個小球放到任何一個盒子中的概率都是相等的。

該問題要注意以下3點：

a.小球是完全相同的，沒有差別。

b.盒子是有序號排列的，有差別。

c.對于每一種“盒子分小球”的結果，不會有小球落在“盒子”的外面，也不會因為“盒子”的容量問題而裝不下。

為方便起見，這里給出一種數學表示方法，來表示“盒子分小球”問題的結果數——“盒球數”：X。

1.2盒球數的解法

這里我們運用“排列組合”中的擋板法來解決。

解：用數字“1”來表示“擋板”，用數字“0”來表示“小球”。則“擋板”之間的“小球”數就是每一個“盒子”里所裝的“小球”數。而k個“盒子”只需（k-1）個“小球”就可以了，正如“一刀兩斷”之意，（k-1）“刀”便可以切成k段。

至此，“盒子分小球”的問題便轉化成了這樣一個“1-0組數”的問題了：有（k-1）個數字“1”和n個數字“0”，用這（k-1）個數字“1”和n個數字“0”可以組合成多少個“正整數”呢？

這樣就容易多了，這樣的“正整數”一共有［n+（k-1）］=（n+k-1）位數，因此，我們只需在這（n+k-1）位中選擇n個位置來放數字“0”，或者說在這（n+k-1）位中選擇（k-1）個位置來放數字“1”即可，因此

X=C=C（公式1）

1.3盒球數的基本性質

（1）一般的，因為k為正整數，所以有特殊的X=1。

（2）由公式1可知：

X=C?圯X=CC=C?圯X=X（公式2）

（3）X=X+X（公式3）

證明：左邊=X=C

公式1?圯X=C公式1?圯X=C右邊=X+X=C+C=C=左邊，左邊=右邊，證畢。

（4）X=X=1（公式4）

證明略。

（5）X=X（公式5）

證明：由公式4和公式3，有：

X=X+X

X=X+X

X=X+X

…

X=X+X

?茌X=0+X

X=X+X+X+…+X

即X=X，證畢。

（6）X=X（公式6）

證明：

公式2?圯X=X公式2?圯X=X公式5?圯X=X?圯X=X

將上述等式中的（n+1）用k代替，（k-1）用n代替，得：

X=X，即X=X，證畢。

2.熵序

2.1熵和熵序的概念

德國物理學家克勞修斯（R.J.E.Clausius）于1865年提出了熵（Entropy）這個概念，用符號S來表示。如果一個物體的絕對溫度為T，輸入該物體的熱量為△Q，則該物體熵的增加量為：

△S=S-S=（公式7）

式中：S——物體輸入熱量前的熵；S——物體輸入熱量后的熵。

這樣定義的熵又稱為熱力學熵。

玻爾茲曼（L.Boltzmann）于1872年在研究氣體分子運動的過程中，對熵提出了微觀解釋。他認為在由大量粒子（分子、原子）組成的系統中，熵表示系統的紊亂程度，系統越“亂”，熵就越大。

由此可見，熵是用來描述系統紊亂程度（或有序程度）的一個狀態量。熵序指的是系統熵的所有可能取值的總數，用符號Sx來表示。拿一個宏觀例子來比喻，豎直向上拋一枚硬幣，落地后會有正面或反面朝上的兩種狀態，我們就說熵序是2。熵序用來表示系統的復雜程度，熵序越大，表示系統的復雜程度越大。

2.2用盒球數計算熵值

這里我們再回到前面的“盒子分小球”的問題，這個問題其實就是描述了一個擁有n個小球和k個盒子組成的系統，前面我們討論的盒球數剛好就是這個系統的熵序。即

S=X（公式8）

下面舉個例子，有這樣一個系統，有10顆粒子分配到3個小室（1#小室、2#小室和3#小室）中，則該系統部分可能出現的狀態及其出現的概率如下表所示。

表格1 系統部分狀態的配容數及出現的概率

其中，配容數為計算概率時的分子值，表格1中的第三列和第四列這兩種情況我們在計算熵序時是按照同一個狀態計算的，根據公式8，本例中熵序為S=X=66，即該系統共有66種不同的紊亂狀態。

3.結語

根據玻爾茲曼的解釋，熱力學中定義的熵可以看作能量在空間分布均勻性的度量，也就是物質系統中能量衰竭程度的度量。而熵序則表示系統中能量衰竭程度所有可能的狀態數，并由此可以衡量系統中所有的能量衰竭狀態的復雜度。

參考文獻：

［1］楊家本.系統工程概論［M］.武漢理工大學出版社：12-13.

指導老師：譚靜教授。