淺析學生的解題錯誤，反思教師的教學過程

摘 要： 學生在平時的練習中、階段性檢測中由于種種原因會產生很多錯誤，對于這些錯誤，如果教師能進一步分析學生犯錯誤的原因，并能透過錯誤發現問題，利用錯誤這一資源為教學服務，那么教學質量就能提高，教師自身專業素質也能發展。本文通過對階段性檢測中學生的解題錯誤進行分析，來反思教師的教學過程，改善教師的教育教學行為，促進教師專業發展。

關鍵詞： 教學 解題錯誤 原因 歸類 教學過程

《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》指出：評價的目的是全面考察學生的學習狀況，激勵學生的學習熱情，促進學生的全面發展。同時也是教師反思和改進教學的有力手段。教師要善于利用評價所提供的大量信息，適時調整和改善教學過程。階段性檢測作為一種評價方式，經常被學校、教師采用，教師關心本班成績，若情況良好，則皆大歡喜；若不好，怨生的居多，責己的居少，反思自己教學行為、教學過程的教師不多，從學生的解題錯誤想想自己的教學存在的問題或許更少，評價的“反思”價值被忽視。本文通過對階段性檢測中學生的解題錯誤進行分析，以幫助教師反思教學過程，改善教育教學行為，提高自身專業素質與專業發展水平。

一、學生解題錯誤的原因歸類淺析

1.數學的基本概念、定義、性質理解不透徹。

數學概念是人類對現實世界的空間形式和數量關系的簡明概括及反映，它是數學學科的精髓、靈魂，是數學運算、推理、證明的依據。對數學的基本概念、定義、性質理解得正確、透徹，能直接提高學生的解題質量。從學生的反饋情況來看，對基本概念、定義、性質理解得不正確是解題錯誤的重要原因之一。

題1：如圖1，已知：⊙A與⊙B的半徑相等，那么在這兩個圓所在的平面內可以作為旋轉中心將⊙A旋轉至⊙B的點有_________個。

正確答案是無數個?？梢粋€班44個學生有19個錯誤，其中17個學生的答案是1個。分析時當問到：旋轉變換的基本性質是什么？學生大多說出：旋轉變換不改變圖形的形狀和大小，但遺忘了“對應點到旋轉中心的距離相等”這一重要性質。從反饋情況來看，答案是1個的學生還對兩個圖形關于某個點成中心對稱的概念理解不透徹。說明教學中關注概念的實際背景與形成過程不夠，過于匆忙，學生機械記憶概念，導致概念、性質容易遺忘。圖形的旋轉變換源于物體的旋轉運動，是對物體旋轉運動的數學抽象。教學時教師應通過實例，讓學生充分認識物體旋轉運動的特點，可以讓學生舉出作旋轉運動的更多的實際例子，在充分討論的基礎上概括圖形旋轉變換的概念和性質。理解深刻一些，錯誤率就會小一些。

題2：先閱讀定義，后解題。

如圖，已知：等腰梯形ABCD≌EFGH，AD∥BC，EH∥FG，∠ABC=∠EFG=60°，AB=AD=EH=EF=a，BC=FG=2a，點G沿BC的延長線移動到點M，設BF=x，任意四邊形EFCD的面積為y，BM=5a。

（1）求y關于x的函數解析式；

（2）G點移動到什么位置時，y有最小值？

分析：點G沿BC的延長線移動到點M的過程中，由線段EF、FC、CD、DE首尾連接圍成的任意四邊形的形狀要發生變化，故分類討論求y關于x的函數解析式。當點E、F分別運動在線段AD、BC上時，任意四邊形EFCD的面積是等腰梯形EFCD的面積（如圖2）；當點E運動在線段AD的延長線上，點F運動在線段BC上時，任意四邊形EFCD的面積是等邊三角形OED與等邊三角形OFC的面積和（如圖3）；當點E運動在線段AD的延長線上，點F也運動在線段BC的延長線上時，任意四邊形EFCD的面積是等腰梯形CFED的面積（如圖4）。

試卷統計只有2人全對，34人做對當點E、F分別運動在線段AD、BC上時，任意四邊形EFCD的面積是等腰梯形EFCD的面積。主要錯誤是：當點E運動在線段AD的延長線上，點F運動在線段BC上時，把任意四邊形EFCD的面積理解成是梯形DFCE的面積（如圖5）。這些學生分析問題的能力不弱，想到了運用分類討論的思想，但是對定義理解的不透徹，導致失分。初中教材中兩次出現類似定義，一次是三角形，另一次是四邊形，課本以比較嚴格定義的方式給出了三角形的概念，在定義時加了“不在同一直線上”的條件，因為在同一直線上的三條線段，即使它們“首尾順次相接”，也不可能組成三角形。教學中一些教師強調了這一條件，卻忽視了“首尾順次相接”的意義，在實際操作時經常很隨意，如圖7畫法，而不是像圖6那樣按一個方向作圖，所以影響了學生對這個“任意四邊形面積”的理解?？梢娨恍┙處熢谄綍r的教學中存在一定的隨意性，學生可能將負遷移后繼的學習，造成部分學生的誤解。

2.算理不理解或方法不當導致運算錯誤。

初中階段的運算主要是有理數、實數的運算，整式與分式的運算，求方程(組)、不等式(組)的解，求函數解析式等代數內容，還有幾何中的求長度、角度、面積等內容，以及統計與概率中涉及的從圖中提取信息，用列表法或畫樹狀圖法求概率等有關內容。運算不正確的原因常常是概念模糊，公式、法則遺忘和混淆，缺乏對算理的真正理解，或運用呆板的結果。

統計顯示，完全錯誤的學生有5個，未檢驗被扣1分的學生有11個。讓人揪心的是其中17個學生雖然沒扣分，但解答的思想方法不正確。有相當多的學生對解分式方程的步驟是陌生的，大多數第一步是將方程左邊通分，解答過程更是書寫得千奇百怪，有個別學生甚至于無從下手，涂改得厲害。

在《分式方程》這一課時的教學過程中，必須解決以下幾個問題：

（1）分式方程和整式方程的區別：①方程式里必須有分式，②分母中含有未知數。

（2）分式方程和整式方程的聯系：分式方程通過方程兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，轉化為整式方程來解，教學時應充分體現這種化歸思想的教學。

（3）解分式方程時，如果分母是多項式時，應先寫出將分母進行因式分解的步驟來，從而準確無誤地找出最簡公分母。

（4）分式方程可能產生增根的原因：因分母中含有未知數，所以將其轉化為整式方程后求出的解就應使每一個分式有意義，否則這個根就是原方程的增根。因此化為整式方程后求出的解必須代入最簡公分母進行檢驗。

課堂上不能為趕教學進度、完成教學任務，不給時間讓學生進行充分的交流，而是包辦式地進行講解分析，否則雖然講解得清晰易懂，學生當時反饋也能聽明白，但當他們真正動手時，卻依然犯各種各樣的錯誤。所以復習《分式方程》時為突出解分式方程的思想與分式的化簡求值的區別，可收集學生以往在分式的化簡時去分母的錯誤，讓學生自我反思、自我改正。

3.運用數學思想方法的意識淡薄。

在數學教學中，“問題是數學的心臟”為數學界的共識，而問題的解決，實際上是數學思想方法的體現。學生掌握數學思想方法，是通向解題成功的階梯。從反饋情況來看，運用數學思想方法的能力薄弱往往是學生解題錯誤的直接原因。

題4：（2002年黃崗第19題改編）在一服裝廠里有大量形狀為等腰直角三角形的邊角余料，現找了其中的一種，測得∠C=90°，AC=BC=4，從這種三角形中剪出一種扇形，做成不同形狀的玩具，使扇形的邊緣半徑恰好都在△ABC的邊上，且扇形的弧與△ABC的其他邊相切，共能設計出__________種所有可能符合題意的方案示意圖。

大多數學生答案錯誤，得分率很低，為什么呢？細想發現學生對題目中“使扇形的邊緣半徑恰好都在△ABC的邊上，且扇形的弧與△ABC的其他邊相切”理解不透徹，未作深入思考，讀題后馬上開始畫。其實此題在考查學生數學知識的同時，更重要的是在考查學生是否深刻領會數學思想方法。學生沒進行分類討論，所以答案不全。共有四種：圓心在直角頂點處；圓心在銳角頂點處；圓心在斜邊上；圓心在直角邊上；由此根據半徑的不同，可得四種設計方案。

題5：如圖8，正方形卡片A類、B類和長方形卡片C類各若干張，如果要拼一個長為a+2b、寬為a+b的大長方形，則需要C類卡片__________張。

解答正確的學生只有一半。平時數學優秀的學生錯的也好幾個，確實令人困惑？錯誤原因就是缺乏數形結合的意識。浙教版七年級下《整式的運算》這章教學時，設置學生活動環節，合作交流，通過圖形從面積的角度解釋多項式乘法、平方差公式、完全平方公式等內容，從直觀上理解這些內容，滲透數形結合思想，顯然不夠到位，以致學生碰到此題無從下手。

4.題意不解、審題不清導致解題錯誤。

每次檢測后總有學生說“題目沒看清”?！皩忣}不清”是學生解題時普遍存在的一個問題。有些學生漏看、錯看或看不全題目中的條件，就導致理解上的偏差，進而引起解題錯誤。要提高解題的正確率，我們必須培養學生認真審題的習慣。

題6：如圖9，2枚相同硬幣依次放入2×2的正方形格子中（每個正方形格子只能放1枚硬幣）。

（1）利用樹狀圖或列表的方法表示出所放的2枚硬幣位置可能出現的所有結果。

（2）求2枚硬幣所放位置數字之和正好是5的概率。

試卷顯示學生解答較好。但卻有5個學生因給出答案16種被扣去8分，其中有3位平時數學優秀的學生。顯然是未能審清題目：“將2枚硬幣放在同個正方形格子中?！闭_審題非常重要，尤其對題目的關鍵詞要吃透，抓住有效信息，挖掘題目中的隱蔽條件，全面考慮問題。

題7：如圖10，某學習小組為了測量河對岸塔AB的高度，在塔底部B的正對岸點C處，測得仰角∠ACB=30°。

（1）若河寬BC=60米，求塔AB的高（結果精確到0.1米）；

（2）若河寬BC的長度無法度量，如何測量塔AB的高度呢？小明想出了另外一種方法：從點C出發，沿河岸CD的方向（點B、C、D在同一平面內，且CD⊥BC）走a米，到達D處，測得∠BDC=60°，這樣就可以求得塔AB的高度了，請你用這種方法求出塔AB的高。

統計顯示有14個出錯。有的學生看不懂題目，其實是這些學生想到用解直角三角形解決，苦于找不到“直角”。欲解此題，第一要抓住“在塔底部B的正對岸點C處”的理解，就是BC⊥AB，從而將問題轉化為解直角三角形。第二要明白題中的圖是“直觀圖”。這說明在平時教學中，一些學生不能將文字語言轉化為數學語言，并進一步轉化為符號語言學生要能用數學的方法解決實際問題，需要長期的積累與熏陶，教師要給予足夠的重視。

二、反思教學過程

以上是學生階段性檢測解題錯誤的局部透視，折射出教師平時教學中值得注意的問題。當然學生錯誤的原因遠不止這些，錯誤的原因也不完全取決于教師的教學。研究學生的錯因是提高教學質量的有效方法。透過學生的錯誤，改進自己的教學行為，反思自己的教學過程，是教師專業水平提升的必經之路。

1.切實重視數學概念教學的過程，使學生加深對數學概念的理解，減少錯誤的發生。

數學概念的教學是重要的一環。概念的獲得不能直接呈現概念，要遵照課程標準的要求，根據學生已有的經驗和知識的最近發展區，關注概念的實際背景與形成過程，幫助學生克服機械記憶概念的學習方式。

例如：先觀察一組實例，抽象出共同的屬性；再歸納出新概念的定義，通過分析其邏輯意義，初步領會新概念的本質屬性，注意概念的內涵與外延、抓住其本質，使學生不僅知其然，更要知其所以然。概念建立后，針對學生疑點和難點，設計恰當的練習，采用靈活多樣的形式，從不同角度對概念進行訓練，使其對概念的認識上升到抽象的具體。也可從概念的反面有針對性地創設一種錯誤的情景，引導學生深入到這種特定的情景中，運用已有的知識和經驗去分析錯因，去嘗試矯正，讓學生在反思中加深對概念的理解。

2.公式、法則、性質的推導過程中，要重視從特殊到一般的探索過程，讓學生去觀察比較、發現規律，得出結論。

算式有何變化，如底數不變，指數有變化，而指數的變化是將指數相加，由學生自己歸納出法則，最后讓學生說出這個法則適用的運算，應用時的條件。這樣就可以減少如下的錯誤：

如果在公式、法則、性質的推導時，都能讓學生參與，由學生擔當“小教師”并帶動其他學生積極思考、主動解決問題，學生就會形成對數學知識的正確理解，加深所學知識與已有知識的聯系，避免知識上的負遷移，減少解決問題時的錯誤。

3.在例、習題教學中，重視對解題過程的教學，讓學生在“過程”中發現問題、分析問題，提高解題能力。

在傳統教學中，例習題教學通常是采用“審清題意→分析思考→尋求解法→求出結果”的四步法完成的。遺憾的是這四步通常是教師主唱甚至于獨唱的，惟恐學生在課堂上聽不懂、吃不飽，總在課堂上講個不停，即使提問題也是匆匆而過，學生沒有充分思考問題的時間。學生解題遇到的困難首先來自于理解題意和尋找解題途徑。我們不妨對四個步驟作些強化與調整：“閱讀習題→弄清題意，分析思考→各述己見，尋求解法→求出結果，歸納小結→暢談體會”，即在整個例、習題教學過程中，給學生提供探索交流的時間與空間，敢于、善于給學生提供獨立思考問題、自己提出問題的條件與機會，在這個時間與空間里引導學生經歷數學活動過程，并把推理能力的培養有機地融合在這樣的“過程”之中，讓學生自己在這樣的“過程”之中“悟”出道理、規律、思考方法，減少解題的盲目性，較快地確定解題方向，提高解題的正確性。

同時教師要善于進行“一題多變”、“一題多解”的教學活動。教學中，在夯實基礎的前提下，教師要善于將學生從思維定勢中解脫出來，使學生養成多角度、多側面分析問題的習慣，以培養其思維的廣闊性、縝密性和創新性。對于教材中所列舉的例題、習題，不能就題做題，要以題為載體，闡述題的條件變化、結論開放、結論變換、與其他題的聯系與區別，將題的知識價值、教育價值一一解剖，達到做一題會一片，觸類旁通的目的。

4.數學思想方法貫穿與整個初中數學教學過程。

數學思想方法是數學的精髓和靈魂，是對數學內容的一種本質認識，靈活運用各種數學思想方法是提高解題能力的根本所在。如函數方程思想、分類討論思想、數形結合思想、轉化化歸思想等。

學生由于數學思想方法運用不靈活，在解題中會出現思維漏洞或思維受阻，想不到解題的方法。在教學中滲透數學思想，是一項長期、細致的工作，不是憑借一兩次課或幾個例題的講解就能使學生掌握，也不能靠生硬的說教，應當結合學生的年齡特征，結合教學內容自然而然、潛移默化地進行。教師在日常教學中要做一個有心人，善于利用反映數學思想的基本材料，有意識地設計與一定數學思想相聯系的學習活動。在教學中，根據數學知識特征，教師可以有計劃有步驟地滲透相應的數學思想。如學習有理數的絕對值、有理數的運算時，滲透“分類”思想；在解二元一次方程時，滲透“化歸”思想；列方程解應用題時，滲透“方程”思想和“建?！彼枷?。通過訓練一些典型試題來豐富學生運用數學思想的解題經歷，加強數學的思維訓練，但不能打“題海之戰”。

5.教學中加強閱讀指導，培養學生閱讀數學的習慣，提高學生的審題能力。

顧名思義，解題必然是建立在閱讀題目的基礎上的。數學閱讀有不同于一般閱讀的特殊性，要抓住關鍵字、詞、句，能正確進行文字語言、圖形語言和符號語言的互譯。平時除了在解題教學，公式、法則推導教學時，有針對性地進行閱讀題目的教學外，還應在平時數學教學中加強閱讀指導，培養閱讀理解能力。閱讀數學教材可以安排在課外預習時，也可以安排在課堂教學時，可以閱讀某一節，也可以閱讀某一段；可以閱讀例題，也可以閱讀概念、法則。要使閱讀有興趣、有效果，關鍵在于教師必須編擬閱讀提綱或者是閱讀思考題，讓學生帶著問題去閱讀。美國著名數學教育家貝爾就數學教科書的作用，以及如何有效地使用教科書曾作過較為全面的論述，其中重要的一條就是要把教科書作為學生學習材料的來源，而不能僅作為教師自己授課材料的來源，必須重視數學教科書的閱讀。

6.多方面解決好糾錯工作，同時發揮“錯題”的作用。

對于課堂上出現的錯誤，糾錯要及時，特別是起始階段的運算，通過學生的板演，用學生幫助學生的方法來解決，加深印象，增強說服力；有些問題的錯誤教師有預見，可以故入陷阱，讓學生糾錯，教育其防犯；有些問題的錯誤可以從“正”“反”兩方面對比處理，發現其矛盾之處。課外糾錯可以通過作業面批，糾錯本訂正回收再批的方式，另外要注意糾錯工作是持久戰，隨時提防。試卷上的錯誤，在統計的基礎上應針對學生的錯誤進行分析，要多問“為什么學生會在這道題（這類問題）上出錯？”針對普遍問題與個體問題進行認真備課、反思，講評時避免“就題論題”的做法；要透過題中的表面現象，抓住問題的本質特征進行開放式講解，使學生的知識得到拓展、加深，形成系統，彌補教師先前教學過程中可能出現過的失誤、不足。

學生的錯誤解法與創新解法一樣是教師的一筆寶貴的教學資源，常出現在平時的練習、作業本、試卷中，教師應要求學生把錯題用紅筆訂正在試卷上，并把典型錯題收集在“錯題本”中，做好答錯原因的分析，并注明正確解答，以促進學生自己反思，完善認知，學會思考。待到復習時，學生即可避免重復機械練習，提高復習效率。教師也要備有一個“易錯題記錄本”，主要由四個部分組成：①典型錯誤解法；②分析錯誤原因；③改進相關內容的教學預設；④反思教學過程，同時建立診治題庫。這對課堂教學可以起到事半功倍的效果。

對于學生的錯誤，不僅要積極預防，更要及時糾正，但無論教師平時怎樣防范與糾正，學生在認識和運用上總還會出現這樣或那樣的失誤，這是學習過程中常見的，不足為奇，并不可怕，關鍵是對于學生的錯誤，教師如何看待，如何利用。錯誤是有價值的，是一種可以利用的教學資源，讓我們利用這個教學資源多反思，在反思中改善教學過程，在反思中自主發展。

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