復數集內一元二次方程的解法

一

實系數一元二次方程ax+bx+c=0在實數范圍內的解的情況：ax+bx+c=a（x+x）+c=a［x+x+（）］+c-=a（x+）+=0，即（x+）=。

設Δ=b-4ac（判別式），

當Δ＞0時，方程有兩個不等的實數解：x=。

當Δ=0時，方程有兩個相等的實數解：x=。

當Δ＜0時，方程無實數解。

方程的根與系數的關系：x+x=-，xx=。

實系數一元二次方程ax+bx+c=0在復數范圍內的解的情況：

ax+bx+c=a（x+x）+c=a［x+x+（）］+c-=a（x+）+=0，即（x+）=。設Δ=b-4ac（判別式），

當Δ＞0時，方程有兩個不等的實數根：x=。

當Δ=0時，方程有兩個相等的實數根：x=。

當Δ＜0時，方程有兩個共軛虛數根：x=。

注意：實系數一元二次方程在復數范圍內求解時，

① 由于求根公式仍可使用，故方程的根與系數的關系也仍成立；

② 若Δ＜0，則意味著方程有一對共軛的虛數根。

二

下面對兩道例題進行解算。

例1：已知實系數一元二次方程2x+rx+s=0的一個根為-3+2i，求r，s的值。

解：由題設得方程另一根為-3-2i，由韋達定理得s=2（-3+2i）（-3-2i）=26，r=-2（-3+2i-3-2i）=12。

例2：若關于x的方程x+5x+m=0的兩個虛數根x，x滿足|x-x|=3 ，求實數m的值。

解：方法一：

方程x+5x+m=0有兩個虛根，則有Δ=25-4m＜0，∴m＞。

又|x-x|=|-|==3，∴4m-25=9，

∴m=。

方法二：

∵|x-x|=3，

∴|x-x|=9，

即|（x-x）|=9，|（x+x）-4xx|=9。

又x+x=-5，xx=m，

∴|25-4m|=9。

又25-4m＜0，

∴4m-25=9，

∴m=。

三

上面我們解決了實系數一元二次方程求解問題，那么對于至少有一個系數是虛數的一元二次方程又應該如何求解呢？

例1：求方程x-2ix-5=0的解。

解： 配方，得（x-i）-4=0，即（x-i）=4，

∴x=2+i，x=-2+i。

另解：Δ=（-2i）-4×（-5）=-4+20=16，

x=，x=，即x=2+i，x=-2+i。

例2：求方程（x+）=的解。

解：因為a，b，c中至少有一個是虛數，所以b-4ac∈C，先求b-4ac的平方根，設b-4ac的平方根為z，z∈C，

則x=，x=。

一元二次方程的求根公式此時仍然適用，但當b-4ac≥0時，由于不一定是實數，因此方程的解不一定都是實數。

小結：當一元二次方程的系數中至少有一個虛數時，求根公式和韋達定理仍然適用，但判別式不再適用。（不可由b-4ac≥0得出方程的根為實根的結論）

四

例1：解方程x+（1+i）x+5i=0。

解：Δ=（1+i）-4×5i=-18i

∵-18i的平方根為3-3i，-3+3i，

∴x==1-2i，

x==-2+i。

求解系數不全為實數的一元二次方程的步驟：

① 求出Δ=b-4ac的平方根z，z；

② 代入求根公式x=，x=。

例2：方程x+（m+2i）x+2+mi=0至少有一實根，求實數m的值和方程的解。

分析：該方程的系數不全為實數的一元二次方程，故對條件中“方程有實根”已不能與判別式Δ≥0相聯系。

思考：方程有實根這一條件應如何利用？

設方程的實根為x，聯系復數相等的充要條件，分離復數的實部和虛部，將復數方程化為實數方程組，同時解出方程的實根和實數m的值，再由韋達定理求出方程的另一根。

解： 設方程的實根為x，則原方程化為（x+mx+2）+（2x+m）i=0，

∴x+mx+2=02x+m=0，

解得x=m=-2，或x=-m=2。

當x=，m=-2時，x=-（-2+2i）-=-2i;

當x=-，m=2時，x=-（2+2i）+=--2i。

綜上，當m=-2時，原方程的解為x=，x=-2i；

當m=2時，原方程的解為x=-，x=--2i。

例3：已知方程x+mx+1+2i=0（m∈C）有實根，求|m|的最小值。

解： 設方程的實根為x，則m=-=--i=-（x+）-i，

|m|==≥，

當且僅當x=，x=±時取“=”。

∴|m|=。

另解：設m=a+bi（a，b∈R），方程的實根為x，

則x+（a+bi）x+1+2i=0，

∴x+ax+1=0bx+2=0，

消去x，得a=+。