用一題之“多”訓(xùn)練多維型數(shù)學(xué)思維

所謂多維型思維，是指在思維的總進(jìn)程中，由多個(gè)思維指向、多個(gè)思維起點(diǎn)、多個(gè)邏輯規(guī)則、多個(gè)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)、多個(gè)思維結(jié)論組成的多渠道邏輯線索的思維模式，其富有網(wǎng)絡(luò)性特征、主體性特點(diǎn)，思維流暢、交通，不拘泥常規(guī)常法，善于開拓、變異。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師注重多維性數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)和訓(xùn)練，有利于學(xué)生掌握知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，透徹地理解教材，鞏固所學(xué)的知識(shí)，并能激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，開闊知識(shí)視野，培養(yǎng)分析能力、探索能力、解決問題的能力。

一題之“多”是指：一題多解、一題多變、一題多問、一題多用、一題多聯(lián)等幾個(gè)方面。實(shí)踐證明：一題之“多”是進(jìn)行多維型數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的有效方法，下面各舉一例以說之，請(qǐng)同行們指正。

一、一題多解，拓廣思路，發(fā)散數(shù)學(xué)思維

例1：已知X+Y=1，求X+Y的最小值。

解法一：（利用變?cè)ǎ┌裏=1-X代入X+Y得：

X+Y=X+（1-X）=2（X-）+，

∴當(dāng)X=時(shí)，X+Y的最小值為。

解法二：（利用判別式法）設(shè)m=X+Y，

則m=X+（1-X），即2X-2X+1-m=0。

∵X∈R，

∴判別式△=（-2）-4×2（1-m）≥0，得m≥，

∴X+Y的最小值為。

解法三：（利用點(diǎn)到直線的距離公式）把X+Y=1看作一條直線方程（如圖1），把求X+Y的最小值的問題轉(zhuǎn)化為直線AB上找一點(diǎn)C（X，Y），使C到原點(diǎn)的距離為最小。作OC⊥AB，垂足C點(diǎn)即為所求的點(diǎn)。

∵|OC|==，∴|OC|=，∴X+Y的最小值為。

解法四：（利用三角函數(shù)的性質(zhì)）設(shè)X+Y=n（n≥0），令X=ncosθ，Y=nsinθ，代入X+Y=1中，得ncosθ+nsinθ=1，n==，n=≥，∴X+Y的最小值為。

解法五：（利用基本不等式的性質(zhì)）∵X+Y=1，和為定值，XY當(dāng)且僅當(dāng)X=Y=時(shí)有最大值，∴X+Y=（X+Y）-2XY=1-2XY≥1-=即X+Y有最小值為。

通過上述多種解法，學(xué)生的思維始終處于一種“追求從另一個(gè)角度思考”的動(dòng)的狀態(tài)，這不僅可使學(xué)生獲得多種解題途徑和方法，將不同章節(jié)的數(shù)學(xué)知識(shí)從橫向加以串通和融化，而且有利于拓寬知識(shí)視野，開拓解題思路，提高解題能力，更培養(yǎng)了思維的敏捷性。

二、一題多變，活躍思路，深化數(shù)學(xué)思維

例2：7個(gè)人坐在一條長凳上，如果甲、乙兩人必須坐在一起，有多少種不同的坐法？

將本題的某些條件進(jìn)行簡單變換、深挖、推廣，可演變成一連串的排列組合題：

1. 7個(gè)人并排站成一行，①甲、乙、丙三人要站在一起；②3個(gè)女生要站在一起，4個(gè)男生也要站在一起；③其中3個(gè)女生、4個(gè)男生，男生要間隔站；④甲、乙兩人之間要站1人；⑤乙必須站在甲右邊（可以不相鄰），問以上分別有多少種不同站法？

2. 4只白球，3只紅球擺成一排，紅球全擺在一起，有多少種擺法？

3.某鐵路調(diào)車場有7股道，要停放4列火車（每股一列），其中有3股靠在一起的股道無車，有多少種不同的停法？

4.從7名男生中選出5名，從4名女生中選出2名站成一行，有多少種不同站法？若其中2名女生必須站在一起，又有多少種不同的站法？

5. 7個(gè)人值班，分早、中、夜三班，每班至少2人，有多少種不同的安排方法？

將題目演變、拓廣，使原來一道題，變成多類題，無疑能提高學(xué)生舉一反三、觸類旁通的能力。利用這些變題對(duì)學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)、誘導(dǎo)、聯(lián)系、對(duì)比，有利于學(xué)生摸素解題規(guī)律，提高分析能力和解題能力，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。

三、一題多問，展開思路，引導(dǎo)數(shù)學(xué)思維

例3：把長、寬各為4、3的長方形ABCD沿對(duì)角線AC折成直二面角（如圖2），求：

1.頂點(diǎn)B和D的距離；

2.BD與平面ADC所成的角；

3.二面角B—AD—C的度數(shù)；

4.AC與BD所成的角；

5.AC與BD的距離；

6.AD與BC的距離。

圖２

解這樣的一題多問，學(xué)生可系統(tǒng)地復(fù)習(xí)立體幾何中有關(guān)角、距離的概念，從一題多問中展開思路，活躍思路，使數(shù)學(xué)思維得以引導(dǎo)和發(fā)散，同時(shí)可培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，有事半功倍的效果。

四、一題多用，開闊思路，拓寬數(shù)學(xué)思維

例4：求證：（a+b+c）（++）≥9（a、b、c∈R）。

證明：∵a、b、c∈R，∴a+b+c≥3，＞0。

同向不等式相乘即可證得。

運(yùn)用本題可較敏捷地證得下列各題：

1.已知a、b、c是實(shí)數(shù)，求證：++≥。

2.若loga＞0，loga＞0，loga＞0，mnl=a，求證：loga+loga+loga=logm+logn+logl。

3.求證：在銳角△ABC中，有tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA≥9。

4.設(shè)h，h，h及γ不分別為△ABC三邊上的高及內(nèi)切圓半徑，且h+h+h=9γ，證明：△ABC是正三角形。

數(shù)學(xué)中的每一題均源于一題型，共性于一題型，解法于一題型，解題時(shí)應(yīng)重視總結(jié)、分析，善于通過解完一題，得出一個(gè)題型，并運(yùn)用這一題型去獵取較廣、較難的問題。一題多用的訓(xùn)練可使知識(shí)由淺入深，思維更加寬廣、活躍，讓學(xué)生有所知、有所得、有所行，受益匪淺。

五、一題多聯(lián)，深入思路，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

例5：設(shè)X、X、X…都是正數(shù)，求證：+++…++≥X+X…+X。

聯(lián)想1：聯(lián)想到平均不等式：

+X≥2X，+X≥2X，…，+X≥2X，+X≥2X，同向不等式相加可證之。

聯(lián)想2：聯(lián)想到構(gòu)造二次函數(shù)：

設(shè)左邊=μ，

令f（t）=（∑X）t-2（∑X）t+μ=（t-）+（t-）+…+（t-）。

聯(lián)想3，聯(lián)想到柯西不等式：

（X+X+X+…+X）=（·+·+…+·+·）≤（X+X+…+X+X）（++…++）。

解題與聯(lián)想是分不開的，在解題教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生帶著問題從各個(gè)方向進(jìn)行聯(lián)想，促使學(xué)生的思維向多層次、多方位發(fā)散，解決問題的能力不斷提高。一題多聯(lián)的訓(xùn)練可以拓展學(xué)生的視野，使學(xué)生的思維廣闊，對(duì)于活躍學(xué)生的思維，誘發(fā)創(chuàng)造因子的萌動(dòng)大有裨益 。