在數學教學中引導學生主動探索

數學新課程標準指出要倡導積極主動、勇于探索的學習方式。學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數學課程還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等數學學習的方式，這些方式有助于學生發揮學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程；同時設立“數學探究”、“數學建模”等學習活動，為學生形成積極主動的、多樣的學習方式進一步創造有利的條件，激發學生的數學學習興趣，鼓勵學生在學習過程中養成獨立思考、積極探索的學習習慣，力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識。

在數學教學活動中教師應發揚民主，成為學生學習活動的組織者、引導者、合作者，要善于激發學生的潛能，鼓勵學生大膽創新與實踐，引導學生主動地觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動，從而使學生形成自己對數學知識的理解和有效的學習策略。以下是筆者在數學教學中的一些嘗試。

一、事件的分類和概率的定義

紛繁的自然現象和社會現象，從結果能否確定的角度可分為兩大類：確定事件和不確定事件，確定事件包含必然事件和不可能事件，不確定事件即隨機事件。必然事件和不可能事件不論在事件發生前還是發生后其結果都是確定的，隨機事件是在事件未發生前對事件的結果無法預先確定。

一個隨機事件的發生既有隨機性（對單次試驗而言），又存在著統計規律（對大量重復實驗而言），從哲學的觀點講這是偶然性與必然性的統一。在這里要強調大量重復試驗這個前提。在引入概率定義以后要強調概率是頻率的穩定值，因為這是許多中學生出錯的根源。例如可以問學生一個問題：一個隨機事件發生的概率為，某人試驗了100次，結果發生了12次，這可能嗎？再問學生，這個人試驗了100次是不是結果一定發生了10次呢？教師要引導學生客觀辯證地看待生活實際中的一些問題，樹立學生的辯證唯物主義思想。如舉下面一個例子：我省某地區舉行現場發行福利彩票活動，廣告宣傳中獎率為20%，且一等獎的獎金數額很誘人。一位老農看到現場不時傳來中獎的喜訊，于是做著發財夢去摸獎，結果連家中賣牛的錢都摸光了也沒中一次獎。學生通過討論這個問題，能深刻理解“中獎率為20%”的含義，從而形成健康的心理，用一種理性、平和、富有愛心的心態對待現實生活中的各種摸獎活動，并能激發學習數學的興趣，提高解決實際問題的能力。

二、等差數列的求和公式

1.創設情景，引入新課。

我們已經熟悉了等差數列的定義及其通項公式a=a+（n-1）d。在教學中，筆者先給學生講了一個故事：高斯是德國偉大的數學家、天文學家、物理學家，在他10歲那年，有一次，老師出了一道題目：1+2+3+…+100=？正當大家忙著計算的時候，高斯站起來答道：1+2+3+…+100=5050。（講數學史料故事，激發興趣）筆者提問：你能說出高斯解題的方法是什么嗎？（學生知道運用首尾配對這一方法）筆者再問：你能很快地得出1+2+3+…+48+49的答案嗎？（為了避免學生對“首尾配對”這一認識僅處于模仿記憶狀態，因此設計了此問題，以促使學生對“首尾配對”法進一步理解）

2.互動探索，研究實質。

提問：1+2+3+…+n=？又如何求呢？（通過比較得出“首尾配對”的算法運用需分項數的奇偶進行討論，但由于結論S=與n的奇偶無關，進而提問有無簡單方法）

提問：既然結論與n的奇偶無關，那么是否有更簡單的方法？

追問：用什么方法可以得到上述結論中的n+1呢？

∵S=1+2+3+…+（n-1）+n

S=n+（n-1）+…+3+2+1

∴2S=（1+n）+…+（1+n）

S=。

這種求和的方法稱為“倒序相加法”。

提問：已知等差數列｛a｝，則其前n項的和S如何求？

S=a+a+a+…+a（1）

S=a+…+a+a+a（2）

哪個同學能起來說一說呢？（大家都舉起手來）

生甲說：

將（1）（2）相加得2S=（a+a）+（a+a）+…+（a+a），（等差數列的性質：a+a=a+a=…必須加以證明）

或者2S=（a+a）+（a+d+a-d）+…+［a+（n-1）d+a-（n-1）d］，

∴2S=n（a+a）。

由此得S=。

至此得到了一種等差數列前n項和的表示，它的前提是知道a，a，n。而通常情況下確定一個等差數列，只需確定a，d。那么，已知a，d，n，怎樣求S呢？

生乙說：

將a=a+（n-1）d代入得S=na+。

還有沒有其它的解法呢？（稍候片刻）

生丙說：

S=a+（a+d）+…+［a+n（n-1）d］

=na+［1+2+…+（n-1）］d=na+。

以上解法，歸根結底，是通過用a，d，n表示數列中的各項，把問題轉化為求一個特殊等差數列的1+2+…+（n-1）的和，而它正是“倒序相加法”的應用。等差數列的通項公式可用a，d，n表示。那么，已知a，a，n，怎樣求S呢？

生丁說：

將d=代入上式得S=。

3.回歸建構，提高能力。

已知等差數列{a}中，a=50，a=15，求S。

已知等差數列{a}中，a=0.7，a=1.5，求S。

求1000以內能被7整除的所有自然數之和。

南北朝《張丘建算經》：今有女子善織布，逐日所織布以同數遞增，初日織五尺，計織三十日，共織九匹三丈，問日增幾何？（一匹為四丈）

4.總結提煉，升華認識。

運用從特殊到一般的方法得到了等差數列前n和公式S==na+。探究過程中得到了一種重要的求和方法，“倒序相加法”。

數學教學是數學活動的教學，是師生之間、學生之間交往互動與共同發展的過程。數學教學應從學生的實際出發，創設有助于學生自主學習的問題情境，引導學生通過實踐、思考、探索、交流獲得知識，形成技能發展思維，促使學生在教師指導下生動活潑地、主動地探索學習。