論數學教學中逆向思維能力的培養

摘 要： 數學能力的培養是多方面的，而逆向思維能力的培養是數學思維中的創新能力培養的重要途徑和方式。首先要認識到逆向思維是正向思維的補充，在教學中要引導學生對教學定義、定理、概念的逆向思考和運用；其次要認識到逆向思維是發散的，在對學生進行思維能力訓練時，要注意學生的發散思維能力的培養，調動學生的積極思維，增大思維的發散度，擴大思維空間。

關鍵詞： 數學教學 逆向思維能力 培養

逆向思維是指由果索因，知本求源，從原問題的相反方向著手的一種思維。它是數學思維的一個重要原則，是創造思維的一個組成部分，也是進行思維訓練的載體，培養學生逆向思維過程是培養學生思維敏捷性的過程。課堂教學結果表明：許多學生之所以處于低層次的學習水平，有一個重要因素，即逆向思維能力薄弱，定性于順向學習公式、定理等并加以死板套用，缺乏創造能力、觀察能力、分析能力和開拓精神。因此，加強逆向思維的訓練，可改變其思維結構，培養思維靈活性、深刻性和雙向思維能力，提高分析問題和解決問題的能力。迅速而自然地從正面思維轉到逆向思維，正是數學能力增強的一種標志。筆者認為，培養學生逆向思維能力有以下幾種途徑。

一、在興趣培養過程中增強逆向思維意識

隨著年齡的增長，中學生的有意注意進一步發展，但興趣在學習中仍起著重要的作用。由興趣引起的無意注意在學習中仍是不可缺少的因素。所以教師應根據授課內容，創造一個良好的教學情境，激發學生學習興趣和求知欲望，促進學生積極思維，有利于培養學生的逆向思維，獲得最佳教學效果。我們以學生為主體，教師為主導，通過層層設問，及時指點啟迪，創造良好的思維情境，結合圖形，激發學生的聯想，引導學生步步深入，形成逆向思維。

1.善于觀察。

觀察，對于學習是很重要的。巴甫洛夫說過一句很有名的話：“觀察、觀察、再觀察?！睘榱私鉀Q問題，學生必須通過觀察識別問題的基本特征，并能夠回憶起已學過的有關信息。數學思維靈活的人，都觀察得非常細致、認真。雖然時間很短，但他們能夠發現與問題有關的各種明顯的或隱蔽的條件，并迅速判斷出其中的關鍵條件，使問題很快解決，即抓住了此題的基本特征，找到了解題的關鍵。為了提高觀察能力，我們應注意以下一些問題：要觀察得仔細、精確；要注意觀察的系統性與條理性；要以一定的知識作基礎，知識越豐富，觀察也越深刻；觀察時，要具有敏銳性；要養成勤于觀察的習慣；要善于從被觀察的對象和觀察者本身兩個方面進行分析，制定出觀察的最佳方案。

2.善于將問題轉化，接觸各類題型，并逐步熟練。

為了解決問題，我們常常需要把一些簡單的規則組合成復雜的、高級的規則。而且，許多問題可以有一系列可能的解決方法。因此，學生在獲得行之有效的解決方法的過程中，也形成了一種新的能力，即逆向思維能力。學習是累積性的、較復雜、較高級的學習，是建立在基礎性學習基礎上的，每一類學習都是以前一類學習為前提的?；A知識和基本技能掌握得越熟練，解決問題就越容易。

問題轉化的方向是化難為易，化繁為簡，化未知為已知。我們要善于從錯誤的思路中擺脫出來，誤入歧途以后，要及時發現錯誤，及時轉向。所以，我們要在運用中充實、深化概念，加強練習，開拓思路。題做多了，我們便能熟練地找到問題的基本特征。

3.學會獨立思考，培養靈感思維。

我們要注意培養學生認真思考的習慣和獨立思考的能力。學生的粗枝大葉，懶于思考，對練習、作業的消極態度都是學習的一大勁敵。在教學過程中，教師應從學生的實際水平出發，創設問題的情境，啟發學生通過獨立思考解決問題和完成任務。

二、在講授新課過程中加強對學生逆向思維能力的培養

1.反向逆推。

探討某些命題的逆命題的真假，是研究數學科學的方法之一，也是學生學習數學的一種行之有效的方法。例如在敘述“數的開方運算”時，我們應強調運用平方運算求一個數的平方數和用平方運算檢驗一個數是不是另一個數的平方根。在教學中我們還要不失時機地運用互逆運算，簡化解題過程，訓練逆向思維。我們通過反向逆推，引導學生利用逆向思維去發問、發現，可以進一步擴大和完善學生的認知結構，深化和升華所學的課本知識。

數學中的公式都具有雙向性。正向運用它們的同時加強公式的逆向應用訓練，不僅可以加深學生對公式的理解和掌握，培養學生靈活運用公式的能力，而且可以培養學生的雙向思維能力。

2.運用反證。

證明數學事實和結論的正確性。反證法是正向邏輯思維的逆過程，是一種典型的逆向思維。反證法是一種間接證法，是許多數學問題在用直接證法相當困難時，常常被采用的證法。它是從待證結論的反面出發，推出矛盾，從而否定要證結論的反面，肯定待證的結論，加強反證法的訓練是促進學生逆向思維逐步形成的必要措施。

例如：命題“若兩多邊形的對應邊成比例，則必相似”為假命題，只需舉一個菱形和一個正方形即可判其為假。說明“一組對邊平行，一組對邊相等的四邊形為平行四邊形”為假命題，只需舉一個等腰梯形即可。

“思維能力的發展是學生智力發展的核心，也是智力發展的重要標志”。因此在初中數學課堂教學中教師要充分挖掘教材中的互反因素，有機地訓練和培養學生的逆向思維能力，從而提高學生的數學素質。

3.集錯歸檔，補充認識缺陷。

教學效果取決于學生的學習反饋。在教學過程中只有快速捕捉反饋信息，及時采取補救措施，才能促進教學目標的實現。教師在教學中不但要遵循教學規律，而且要有超前的預見能力。學生在學習新知識時可能會存在怎么樣問題，會提出什么樣的問題，教師心中都應早有準備。可是這些超前預見的材料就來源于學生學習反饋即練習和作業，以及考卷的錯誤解答。因此，搜集和整理學生練習、作業和考卷中出現的典型性錯誤間題，對教學具有很大的輔助作用。引導學生將錯解題進行歸類、整理并存案歸庫是一件非常有意義的事，它不僅可以彌補學生認識上的缺陷，而且能為今后的教學提供豐富而科學的指導依據。

4.重視逆定理的運用，提高學生的逆向思維能力。

數學中的定理有的不可逆，但許多定理的逆定理也是成立的。例如，平行線的性質定理與判定定理，勾股定理及其逆定理，兩個平面平行的性質及判定定理，等腰三角形的性質及判定定理，等等。在教學中，對某些重要定理的可逆性進行探討，有利于加深對知識的理解，也有助于逆向思維能力的提高。

5.重視一些性質的逆向運用也能提高學生的逆向思維能力。

中學數學教材中有很多的性質是可逆的。例如指數函數的性質“底數大于I時，函數為增函數”，其反面“指數函數為增函數時，其底數大于1”也成立。再如函數的方程與函數的圖像的關系中，“滿足函數方程的點都在函數的圖像上”，其反面“在函數圖像上的點滿足該函數的方程”也成立。在數學教學中，重視一些性質的逆向運用，對培養學生的逆向思維能力大有益處。

6.加強數學方法的教學，強化逆向思維能力，重視數學思想。

數學方法如反證法、分析法等方面的教學是增強學生逆向思維能力的有效方法。分析法是一種執果索因的逆向思維方法，其推理方向是由結論到題設，論證中步步尋求使其成立的充分條件，如此逐步歸結到已知或已成立的事實，命題便獲證。采用該方法分析問題時要求學生養成“要證什么，需證什么”的思維方向，用它可以縮短已知和未知間的距離，便于尋找解題的途徑。反正法是一種假設結論的反面成立，在已知條件和“否定結論”這個新條件下，通過推理得出與題設、公理、定理矛盾的結論，從而斷定假設不成立，原命題的結論一定正確的證明方法。很多直接證明很困難的題目，用反證法可以起到很好的效果。教師可通過數學方法的訓練，能使學生明白解答一個問題用一種方法不行，要轉化思想，也可以反過來思考，從而增強逆向思維能力，提高思維的靈活性。

7.在解題過程中運用逆向思考方法培養學生逆向思維能力。

在解答數學題目時，有時采用正向思維方法比較麻煩，此時我們可換一種思維方式，運用逆向思維方法使問題簡化。例如甲乙兩人各進行一次射擊，擊中目標的概率分別是0.8和0.7，求至少一人擊中目標的概率。解答此題若用正向思維方法來解，要求出“甲擊中目標而乙未擊中目標”、“甲未擊中目標而擊中乙目標”、“甲擊中目標并且乙也擊中目標”三種情況的概率再相加。若用逆向思考方法，先求出它的對立事件的概率再來解就要簡單得多。

總之，培養學生的逆向思維能力，不僅對提高解題能力有益，更重要的是能改善學生學習數學的思維方式，有助于形成良好的思維習慣，激發學生的創新開拓精神，培養良好的思維品性，提高學習效果、學習興趣，以及思維能力和整體素質。當然，在初中數學教學中，要培養學生的逆向思維能力，教師就必須具備豐富而扎實的“雙基”知識，量力而行，適可而止，且有計劃地長期進行訓練。