例談湊微分法

摘 要： 湊微分法是重要的積分法，也是初學者難以掌握的積分法。本文通過舉例來說明如何湊微分。

關鍵詞： 基本積分公式 湊微分 不定積分

能夠用基本積分公式直接求函數的不定積分問題很有限，對許多函數的積分，比如像tanxdx這樣基本初等函數的積分，都不能由基本積分公式直接得出結果。湊微分法，就是先從基本積分公式中找到與要求的積分式子相近的公式，再對照公式，把被積表達式湊成與公式相同的形式，從而利用公式求出積分。能夠用這種方法求解的被積函數的形式的多樣性，決定了湊微分法的重要性，也由于被積函數形式的多樣性，決定了湊微分法的多變性和困難性。怎么湊，這是令初學者常感困惑的事情。

下面試舉幾例來說明如何用湊微分來求不定積分，敬請讀者指正。

例１：求cosxdx。

從基本積分公式中找到與此積分相近的公式：cosxdx＝sinx+C，找到與公式中的不同之處：dx中x的系數與被積函數中x的系數不一樣。我們通過求d2x＝2dx，得到dx＝d2x，這就是湊微分，用d2x表示dx，使得d后面的系數與前面的一樣。代入，得cos2xdx=cos2x·d2x=cos2xd2x=sin2x+C。

例2：求dx。

從基本積分公式中找到與此積分相近的公式：dx＝ln|x|+C，找到所求積分與公式的不同之處。要湊微分，通過求d(x+1)＝dx，有dx＝d(x+1)，代入，得dx=d(x+1)=ln|x+1|+C。

類似的，有dx=ln|x-1|+C。

例3：求dx。

在基本積分公式中，找到與此積分相近的公式：dx＝arctanx+C。把被積表達式與公式進行比較，要用這公式，先把常數4變成1，dx＝dx。但把常數4變成了1，仍然不能用公式，因為dx中x的系數與被積函數中x的系數不一樣。要湊微分，先求x的微分，有d(x)=dx，所以有dx=2d(x)，代入，得dx=dx==arctanx+C。

例4：求dx。

從基本積分公式中找到與此積分相近的公式：

dx=arcsinx+C。

先把常數４變成１，dx＝dx，找到與公式中的不同之處，通過求d（x）＝dx，有dx＝2d(x)，代入，得dx＝dx=d（x）=arcsinx+C。

例5：求dx。

在基本積分公式中找到與此積分相近的公式：dx=xdx=-+C，由d(2x+1)＝2dx，dx＝d(2x+1)，從而有dx=·d（2x+1）=-+C。

對一些含有復合函數f［Φ(x)］的積分，要找準哪個函數是Φ(x)，湊微分，一般是通過直接求d［Φ(x)］，得出dx的表達式。

例6：求xedx。

這里e是x的函數，直接求x的微分，dx＝2xdx，有xdx＝dx，因而有xedx=e·d(x)=ed(x)=e+C。

有時，將被積函數先作適當變形，比較容易看出如何湊微分。

例７：求sin2xdx。

解法一：很明顯，sin2x是2x的函數，由d2x＝2dx，dx＝d2x，代入，得sin2xdx=sin2x·d2x=sin2xd2x=-cos2x+C。

解法二：sin2x=2sinxcosx，dsinx=cosxdx，

sin2xdx=2sinxcosxdx=2sinxdsinx=sinx+C，

或dcosx=-sinxdx，sin2xdx=2sinxcosxdx=-2cosxdcosx=-cosx+C。

例8：求tanxdx。

這里要先將被積函數tanx變形為·sinx，再把看成是cosx函數，求dcosx＝-sinxdx，因而有sinxdx＝-dcosx，代入得tanxdx=·sinxdx=-dcosx=-ln|cosx|+C。

類似的，有cotxdx=ln|sinx|+C。

例9：求dx。

=（-），dx=（-）dx=(dx-dx)=（ln|x-1|-ln|x+1|）+C=ln+C。

例10：求cosxdx。

這里要用三角公式cosx=(1+cos2x)將被積函數進行降次，cosxdx=(1+cos2x)dx=dx+cos2xdx=x+sin2x+C。

類似的，有sinxdx＝x-sin2x+C。

例11：求dx。

==（x+2）］+1，所以dx=（x+2）］+1dx=（x+2）］+1d［(x+2)］=arctan(x+2)+C

利用湊微分法求不定積分，要熟悉基本積分公式，在此基礎上，擴大基本積分公式的應用范圍。我們經過一定量的練習，注意不斷總結，能達到熟練應用，也就能比較快地判斷出在什么情況下用湊微分法解題。