以形助數，以數輔形

摘 要： “數形結合”既是數學學科的重要思想，又是數學研究的常用方法。教師在教學中經常引導學生創設“數形結合”的情境，不僅可以溝通數與形的內在聯系，把代數式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述有機地結合起來，從而在這種結合中尋找到解題的思想與方法，而且有利于開拓學生的解題思路，發展學生的形象思維能力。

關鍵詞： “數形結合” 函數圖像 抽象 “以形助數” “以數輔形”

恩格斯指出：“純數學的對象是現實世界的空間形式和數量關系。”“數”與“形”是數學的基本研究對象，它們之間存在著對立統一的辯證關系。我們要認識兩者的辯證關系，要認識到矛盾雙方的相互轉化。在解決數學問題時，將抽象的數學語言同直觀的圖形相結合，實現抽象的概念與具體形象的聯系和轉化，這就是“數形結合”。在高中數學中，“數形結合”是一條重要的數學原則，主要體現在平面解析幾何和立體幾何中。在解決集合問題、方程、不等式及函數問題時，如果能注意數形結合的應用，尋找解題思路，就能使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決。華羅庚先生說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休。”在數形轉化結合的過程中，必須遵循下述原則：轉化等價原則，數形互補原則，求解簡單原則。在教學滲透“數形結合”時，教師應指導學生掌握以下幾點：

1.善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊含的數量關系。

2.正確繪制圖形，以反映圖形中相應的數量關系。

3.切實把握“數”與“形”的對應關系，以圖識性，以性識圖。

下面從幾個方面談一談“數形結合”在解題中的應用。

一、“數形結合”在解決集合問題中的應用

1.利用文氏圖法解決抽象集合問題。

一般用圓來表示集合，兩圓相交則表示兩集合有公共元素，兩圓相離則表示兩個集合沒有公共元素。利用文氏圖法能直觀地解答有關集合之間的關系的問題。如：

例1：開校運動會時，高一（五）班共有28名同學參加比賽，有15人參加游泳比賽，有8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時參加游泳和田徑比賽的有3人，同時參加游泳和球類比賽的有3人，沒有人同時參加三項比賽，問同時參加田徑和球類比賽的有多少人？只參加游泳一項比賽的有多少人？

解：設A={參加游泳比賽的學生}，B={參加田徑比賽的學生}，C={參加球類比賽的學生}，同時參加田徑和球類比賽的學生有x人，作出符合題意的文氏圖：由題意可知：card(A∩B)=3，card(A∩C)=3，card(B∩C)=x，則15+8+14-3-3-x=28，得x=3。因此，同時參加田徑和球類比賽的有3人，只參加游泳一項比賽的有15-3-3=9人。

2.利用數軸解決集合的有關運算和集合的關系問題。

例2：若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，求使A?哿B成立的a的集合。

先在數軸上表示出集合B的范圍，要使A?哿B，由包含于的關系可知集合B應該覆蓋集合A，因為A為非空集合，所以2a+1≤3a-5，a≥6。又∵A?哿B，如圖所示：可知2a+1≥33a-5＜22，∴1≤a≤9。綜上所得：6≤a≤9。

因此，運用“數形結合”解題，往往會化抽象為具體，化復雜為簡單，將集合的交、并、補的關系直觀、形象地顯示而有利于運算。

二、利用“數形結合”解決方程和不等式問題

1.利用二次函數的圖像求一元二次不等式的解集。

一元二次不等式與一元二次函數（方程）之間的緊密關系是眾所周知的。拋物線y=ax +bx+c（a＞0）與x軸的相關位置分為三種情況，這可以由一元二次方程ax +bx+c=0的判別式Δ=b -4ac的三種取值情況來確定。因此，在解不等式時一定要注意最高項系數是否為正，要分兩種情況討論。

例3：求不等式-x +2x-3＞0的解集。

分析：我們先聯想對應的二次函數y=-x +2x-3的圖像草圖，很明顯，無論x取任何值時都有y＜0，即-x +2x-3＜0，∴-x +2x-3＞0的解集為空集，因而-x +2x-3＜0的解集為全體實數。

因此，我們要求一元二次不等式的解集時，只要聯想對應的二次函數的圖像，確定拋物線的開口方向和與軸的交點情況，便可直觀地看出所求不等式的解集。

2.利用二次函數的圖像解決一元二次方程根的分布情況問題。

例4：已知關于x的方程2kx -2x-3k-2=0的兩實根一個小于1，另一個大于1，求實數k的取值范圍。

分析：若直接利用求根公式解答此題，則要解復雜的無理不等式組。如果從函數觀點出發，令f(x)=2kx -2x-3k-2，則由根的分布，函數f(x)的圖像只能如圖所示。對應的條件是k＞0f(1)＜0或k＜0f(1)＞0。

解：由以上分析可知，令f(x)=2kx -2x-3k-2。為使方程f(x)=0的兩個根一個小于1，另一個大于1，只需使k＞0f(1)＜0或k＜0f(1)＞0，解得k＞0或k＜-4。

一般的，關于根的分布問題均可引入函數，由函數圖像的特征構造解法，使問題得以巧妙解決。

通過以上幾道例題的分析求解，可知二次函數有豐富的內涵和外延。作為最基本的冪函數，可以以它為代表來研究函數的性質，可以建立起函數、方程、不等式之間的聯系，可以編擬出層出不窮、靈活多變的數學問題，區分出學生運用數學知識和思想方法解決數學問題的能力。

3.利用函數圖像解決方程的近似解或解的個數問題，即數形對照，相互滲透。

例5：解方程3 =2-x。

分析:由方程表達式我們可以聯想起函數y=3 與y=2-x，作出這兩個函數的圖像，這兩個函數圖像交點的橫坐標為方程的近似解，可以看出方程的近似解為x≈0.4。

4.利用函數的圖像解不等式，即由數想形，直觀顯現。

例6：解不等式 ＞x+1。

解：設y= ，即y =2(x+ )(x≥- ，y≥0)，對應的曲線是以A(- ，0)為頂點，開口向右的拋物線的上半支。而函數y=x+1的圖像是一直線。解方程可求出拋物線上半支與直線交點的橫坐標為2，取拋物線位于直線上方的部分，故得原不等式的解集是{x|- ≤x＜2}。

“數形結合”能將抽象的問題直觀化、形象化，能使問題靈活直觀地獲解，在數學學習中我們要注意把握善于運用這種數學思想。

三、利用函數圖像比較函數值的大小

一些數值大小的比較，我們可轉化為對應函數的函數值，利用它們圖像的直觀性進行比較。

例7：試判斷0.3 ，log 0.3，2 三個數的大小順序。

分析：這三個數可以看成三個函數y =x ，y =log x，y =2 在x=0.3時所對應的函數值。在同一坐標系內作出這三個函數的圖像(如圖)，從圖像可以直觀地看出當x=0.3時，所對應的三個點P ，P ，P 的位置，從而可得出結論：2 ＞0.3 ＞log 0.3。

四、利用方程的幾何意義轉化“數形結合”

例8：如果實數x、y滿足（x-2） +y =3，則 的最大值為（）。

解：設點A（x，y）在圓(x-2) +y =3上，圓心為C(2，0)，半徑等于 。如圖，則 是點A與原點連線的斜率。當OA與⊙C相切，且切點A落在第一象限時，k 有最大值，即 有最大值。因為CA= ，OC=2，所以OA= =1，所以（ ） =tan∠AOC= 。

由此可知，“數”和“形”是數學學習的兩個基本對象，對于一些問題，單純地從“數”的角度去分析探求需要分類討論，運算會較繁冗，因此應當設法從“形”的角度去構造直觀圖形來刻畫問題的條件和結論，使錯綜復雜的關系變得清晰可辨，從而起到優化解題途徑的目的。

“數形結合”是一個重要數學方法，是研究數學問題的一個基本方法，它包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面。“數”與“形”結合，相互滲透，把代數式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述相結合，使代數問題、幾何問題相互轉化，使抽象思維和形象思維有機結合。應用“數形結合”，就是充分考查數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數意義，又揭示其幾何意義，將數量關系和空間形式巧妙結合。深刻理解這一觀點，有利于提高我們發現問題、分析問題和解決問題的能力。

參考文獻：

［1］劉志聯.構造幾何模型巧解代數題.中學數學月刊，2003，1.

［2］薛金星.中學教材全解.陜西人民教育出版社.

［3］數理化解題研究（高中版）.2006年第09期目錄.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文