用向量法求空間角

掌握了用向量的方法解決立體幾何問題這套強有力的工具，應該說不僅會降低學習的難度，而且會增強可操作性。角這一幾何量本質上是對直線與平面位置關系的定量分析，其中轉化的思想十分重要，三種空間角都可轉化為平面角來計算，可進一步轉化為向量的夾角求解。

1.求兩條異面直線所成的角

具體求法：先求 ， 所成的角（0∈［0，π)），再轉化為異面直線ＣＡ與ＤＢ所成的角（θ∈(0， ］），即：θ=arccos| |，其中 ， 分別是直線a，b的方向向量。

例1.（2006年福建卷）如圖1，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD= 。求異面直線AB與CD所成角的大小。

解：以O為原點，如圖2建立空間直角坐標系，則B（1，0，0），D（-1，0，0），C（0， ，0），A(0，0，1)，E( ， ，0)， (-1，0，1)， (-1，- ，0)，∴cosθ＜ ， ＞= = ，

∴異面直線AB與CD所成角的大小為arccos 。

2.求直線和平面所成的角

具體求法：設 是斜線l的方向向量， 是平面的法向量，則斜線與平面所成的角是α=arcsin| |。

例2.（2007湖北#8226;理#8226;18題）如圖3，在三棱錐V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中點，且AC=BC=a，∠VDC=θ（0＜θ＜ ）。

（Ⅰ）求證：平面VAB⊥平面VCD ；

（Ⅱ）當角θ變化時，求直線BC與平面VAB所成的角的取值范圍。

（Ⅰ）證明：（略）

（Ⅱ）解：以CA、CB、CV所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖4所示的空間直角坐標系，則C（0，0，0），A（a，0，0），B(0，a，0)，D( ， ，0)。

設V(0，0，t)(t＞0）（Ⅰ），

=（0，0，t)， =( ， ，0)， =(-a，a，0)，

設直線BC與平面VAB所成的角為φ，

設n=(x，y，z)是平面VAB的一個非零法向量，

則n#8226; =(x，y，z)#8226;（-a，a，0）=-ax+ay=0，n#8226; =(x，y，z)#8226;（-a，0，t）=-ax+tz=0，

取z=a，

得x=y=t。

可取n=(t，t，a)，又 =（0，a，0），

于是

sinφ=

= =

= ，

∵t∈（0，+∞），sinφ關于t遞增，

∴0＜sinφ＜ ，

∴φ∈(0， )。

即直線BC與平面VAB所成角的取值范圍為（0， ）。

3.二面角

方法一：構造二面角α-l-β的兩個半平面α、β的法向量 、 （都取向上的方向，如圖5所示），則：

（1） 若二面角α-l-β是“鈍角型”如圖5甲所示，那么其大小等于兩法向量 、 的夾角的補角，即

cosθ=- 。

（2） 若二面角α-l-β是“銳角型”，那么其大小等于兩法向量 、 的夾角，即cosθ= 。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”