巧妙放置圓周角

圓周角是把圓的有關(guān)曲線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線問(wèn)題的的中間橋梁，是數(shù)學(xué)化歸思想解決曲線問(wèn)題的體現(xiàn)。靈活運(yùn)用圓周角的性質(zhì)可以使許多問(wèn)題變得簡(jiǎn)單直觀。

定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于所對(duì)的圓心角的一半。

如圖1，C是優(yōu)弧 上一點(diǎn)，隨著C點(diǎn)在優(yōu)弧 的移動(dòng)到與A、B不重合的任意位置，∠C的大小是一個(gè)定值（等于 的度數(shù)的一半）。我們可以根據(jù)問(wèn)題需要，利用圓周角這一變化中的不變性，巧妙放置∠C的位置，從而拓寬解題的思路。

一、放置在一般三角形中

例1：如圖2：“世界杯”賽場(chǎng)上李鐵、邵佳一、郝海東三名隊(duì)員互相配合向?qū)Ψ角蜷T進(jìn)攻，當(dāng)李帶球沖到如圖C點(diǎn)時(shí)，邵、郝也分別跟隨沖到圖中的D點(diǎn)、E點(diǎn)，從射門的角度大小考慮，李應(yīng)把球傳給誰(shuí)好？請(qǐng)你從數(shù)學(xué)角度幫忙合情說(shuō)理，分析說(shuō)明。

分析：如圖2問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是比較∠C、∠D、∠E的大小問(wèn)題；將C點(diǎn)看成動(dòng)點(diǎn)，設(shè)AD交⊙O于F，連接BF，延長(zhǎng)AE交⊙O于G，連接BG。

由∠C大小的在優(yōu)弧 上運(yùn)動(dòng)的不變性，當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)時(shí)，將∠C與∠D的大小比較轉(zhuǎn)化為∠AFB與∠D的大小比較，顯然∠C＞∠D；當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到G點(diǎn)位置時(shí)，又將∠AEB與∠C的大小比較轉(zhuǎn)化為∠AEB與∠G的大小比較，易得∠AEB＞∠C。從而∠AEB＞∠C＞∠D，即：李應(yīng)該把球傳給沖到E點(diǎn)的郝海東更好。

說(shuō)明：本題解法中并沒(méi)有直接去比較∠C與∠AEB、∠D的大小，而是根據(jù)∠C的運(yùn)動(dòng)不變性，巧妙地將它“放置”在了△DBF和△BEG中解決的。

二、放置在直角三角形中

例2：已知如圖3，△ABC內(nèi)接于半徑為R的⊙O中，∠A的對(duì)邊BC=a。

（1）求證： =2R。

（2）若R=2，BC=2 ，A是圓弧 上的一動(dòng)點(diǎn)（與B、C不重合），求S 的最大值。

分析：要證明（1）結(jié)論，需把BC和∠A放在直角三角形中；對(duì)于（2），因?yàn)椤鰽BC的一邊BC是定值，所以只需BC邊上的高最大時(shí)（即：A運(yùn)動(dòng)到BC的垂直平分線上時(shí)），S 最大。

解：（1）如圖3，連接BO并延長(zhǎng)交圓于A′，連接BA′得Rt△A′BC，即：把∠A放在了∠A′的位置。

在Rt△A′BC中，sinA′= = 變形得 =2R。又因?yàn)椤螦和∠A′都是 所對(duì)的圓周角，所以∠A=∠A′；所以 =2R。

（2）如圖3，過(guò)O作OG⊥BC于G，延長(zhǎng)GO交⊙O于A″；連接A″B、A″C；即A運(yùn)動(dòng)到A″時(shí)，S 的值最大值。

∵OG⊥BC，∴BG= ；在Rt△BOG中可得OG=1，∴AG=OG+OA=3，∴S = ×BC×A″G= ×2 ×3=3

即：S 的最大值為3 。

三、放置在相似三角形中

例3：已知如圖4，⊙O中，弦AB=AC=4，弦AD=9，AD與BC交于E。求AE的長(zhǎng)。

分析：構(gòu)造含有AD、AE的相似三角形，連接CD，可得∠B=∠D，即把∠B放在圓上D點(diǎn)的位置，可得△ACE∽△ADC，從而可得AC =AE#8226;AD，即：4 =AE×9，所以AE= 。

四、轉(zhuǎn)化為圓心角

例4：P是⊙O直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)P作直線交⊙O于C、D兩點(diǎn)，作弦DF⊥AB，垂足為H，CF交AB于點(diǎn)E。

（1）若H點(diǎn)在OA上，如圖5，求證：PD#8226;PC=PO#8226;PE。

（2）若垂足H在OB上，如圖6，（1）中的結(jié)論P(yáng)D#8226;PC=PO#8226;PE還成立嗎？

（3）在圖5中，若DE⊥CF，∠P=15°，⊙O的半徑為2，求弦CF的長(zhǎng)。

分析：（1）如圖5，要證結(jié)論，需證△POD∽△PCE：∠P是公共角，由于圓周角∠FCD= ∠FOD，由垂徑定理可得∠DOA= ∠FOD，∴∠FCD=∠DOA，∴∠PCE=∠POD，∴△POD∽△PCE，∴ = ，∴PD#8226;PC=PO#8226;PE。

（2）如圖5，連接DO，由（1）中分析可得∠DCF=∠DOA，∴∠PCE=∠POD，又∵∠P是公共角，∴△POD∽△PCE，可知結(jié)論成立。

（3）如圖6，∵∠CEP=∠AEF=45°，∠P=15°，∴∠DCF=∠DOA=60°；在Rt△DOH中，可得OH=1，DH= ，∴DF=2 。∵△DEF是等腰直角三角形，∴DE=FE= 。又∵在Rt△DEC中，∠DCF=60°，∴EC= ，∴FC= + 。

五、轉(zhuǎn)化為弧的度數(shù)

例5：已知如圖7，PAB、PCD是⊙Ｏ的兩條割線，分別交⊙Ｏ于點(diǎn)A、B和點(diǎn)C、D。且 = = ；若∠P=40°，求α和β的度數(shù)。

分析：要求α、β的度數(shù)，只需建立圓周角α與β的兩個(gè)方程，由已知條件可將α、β的度數(shù)轉(zhuǎn)化為所對(duì)弧的度數(shù)，根據(jù)整個(gè)圓周的度數(shù)是360°可得到一個(gè)方程，再根據(jù)α是△PCB的外角可得另一方程。

解：∵ 的度數(shù)= 的度數(shù)= 的度數(shù)=2α； 的度數(shù)=2β，∴2α+2α+2α+2β=360°（1），α=β+40°（2），解得α=55°，β=15°。

總之，在解決圓的許多問(wèn)題時(shí)，都會(huì)牽涉到圓周角定理，只要我們巧妙地放置好圓周角的位置，問(wèn)題往往就變得更簡(jiǎn)單，易解決。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”