中考應用題最優化解題技巧

摘要： 本文結合例題，對中考應用題最優化解題技巧進行了分析。

關鍵詞： 中考 最優化類應用題 解題技巧

近幾年來為了考查學生的應用意識，以及分析問題、解決問題的能力和實踐能力，各地應用卷中最優化類應用題占很大比例，為備戰中考，學生對此類問題必須予以重視，掌握解題技巧。

解決這類問題，考生要根據已有的信息和數據加工處理，并運用有關知識，構建數學模型。

一、最短路徑

例：某送奶公司計劃在三棟樓之間建一取奶站，三棟樓在同一直線上，順次為A樓、B樓、C樓，其中A樓與B樓之間的距離為40m，B樓與C樓之間的距離為60m。已知A樓每天有20人取奶，B樓每天有70人取奶，C樓每天有60人取奶，送奶公司提出兩種建站方案。

方案一：讓每天所有取奶的人到奶站的距離總和最小；

方案二：讓每天A樓與C樓所有取奶的人到奶站的距離之和等于B樓所有取奶的人到奶站的距離之和。

（1）若按照方案一建站，取奶站應建在什么位置？

（2）若按照方案二建站，取奶站應建在什么位置？

（3）在（2）的情況下，若A樓每天取奶的人數增加（增加的人數不超過22人），那么取奶站將離B樓越來越遠，還是越來越近？請說明理由。

解：（1）略。

（2）設取奶站建在距A樓xm處，①當0≤x≤40時，20x+60（100-x）=70（40-x），解得x=- ＜0（舍去）。②當40＜x≤100時，20x+60（100-x）=70（x-40），解得x=80。

因此按方案二建奶站，取奶站應建在距A樓80m處。

（3）設A樓取奶人數a人；①當0≤x≤40時，（20+a）x+60（100-x）=70（40-x），解得x= （舍去）。②當40＜x≤100時，（20+a）x+60（100-x）=70（x-40），解得x= 。∴當a增大時，x增大。∴當A樓取奶的人數增加時，按照方案二建奶站，取奶站仍建在B、C兩樓之間，且隨著人數的增加，離B樓越來越遠。

二、最大利潤（產值）

例：我市一家農工商公司收獲的一種蔬菜，共140噸，若在市場上直接銷售，每噸利潤為1000元，經粗加工后銷售，每噸利潤可達4500元，經精加工后銷售，每噸利潤可達6500元。

該公司加工廠的生產能力是：如果對蔬菜進行粗加工，每天可加工16噸；如果進行精加工，每天可加工6噸，但兩種加工方式不能同時進行，受季節等條件限制，公司必須每15天內（含15天）將這批蔬菜全部銷售或加工完畢。為此，公司研制了兩種可行方案：方案一：盡可能多地對蔬菜進行精加工，沒來得及進行加工的蔬菜，在市場上直接出售；方案二：將一部分蔬菜進行精加工，其余蔬菜進行粗加工；（1）求出方案一所獲利潤w 元；（2）求出方案二所獲利潤w （元）與精加工蔬菜數x（噸）之間的函數關系式；（3）你認為應如何安排加工（或直接銷售）使公司獲利最多？最大利潤是多少？

解：（1）每天精加工6噸，15天能精加工（15×6）=90噸，直接出售（140-90）=50噸，方案一所獲利潤為：w =90×6500+50×1000=635000（元）。

（2）若方案二中，精加工蔬菜x噸，則粗加工（140-x）噸，獲得利潤為：w =x#8226;6500+（140-x）×4500=2000x+630000（元）。

由于每天可精加工6噸，每天可粗加工16噸，15天內必須加工完畢，所以 + ≤15，解得x≤60。

方案二所獲利潤與精加工蔬菜數x（噸）之間的函數關系式為：w =2000x+63000，（0≤x≤60）

（3）由w =2000x+63000（0≤x≤60）知:當x=60時，w 最大=2000×60+630000=750000（元），所以，精加工蔬菜60噸，粗加工蔬菜獲利更多，最大利潤為750000元。

三、最低費用

例：現由兩個氮肥廠向A、B兩地運送化肥，已知甲廠可調出50噸化肥，乙廠可調出40噸化肥，A地需30噸化肥，B地需60噸化肥，兩廠到A、B兩地的路程和運費如下表（表中運費欄“元／噸#8226;千米”表示每噸化肥運送1千米所需的人民幣）：

根據題意，請設計出合理的運送方案，使所需的總運費最低，并求出最低的總運費。

解：設應從甲廠運送x噸化肥至A地，則調往B地的化肥為（50-x）噸，從乙廠只需（30-x）噸化肥至A地，剩下的［40-（30-x）］噸化肥調至B地。再設總運費為y元，由題意得：y=60x+60（50-x）+48（30-x）+40［40-（30-x）］，即y=-8x+4840。

其中x≥0，50-x≥0，30-x≥0，解得0≤x≤30，因為y隨x的增大而減小。所以當x=30時，y =4600；故當由甲廠向A地運送30噸化肥，向B地運送20噸化肥，同時乙廠將40噸化肥全部運往B地時總運費最低，為4600元。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”