重視一題多解，開拓學生思路

摘要： 本文作者力圖從理論與實踐的角度對“一題多解”作專門的探討。作者通過對單招多年的教學經驗的總結，抽選了比較典型的例題，全方位分析、做解，通過多種解題技巧與方法進行解答，使學生在解題過程中體會到數學知識的連貫性和靈巧性，培養學生一題多解的能力。

關鍵詞： 數學 一題多解 立體幾何 例題

數學是研究數與形的科學，盡管代數、幾何、三角等各個章節都有自己的“數或形”的重點，但它們之間并沒有不可逾越的鴻溝。大家常講的所謂“一題多解”，正是指從數學知識的各種不同角度，運用不同的思維方法去解決同一個問題。因此“一題多解”所涉及的知識、方法、思想，較單一方法解題的面更廣，方法更靈活。

筆者在長期的單招教學實踐中深刻體會到：“練不在多，而在于精”。恰當且適量地采用“一題多解”的教學，進行多角度的解題思路分析，探討解題規律和解題方法與技巧，對學生鞏固基礎知識形成知識網絡、提高解題技能、發展邏輯思維、提高分析問題解決問題的能力十分有益。事實證明，通過一題多解，能夠卓有成效地開拓學生的思維空間，使學生把所學過的知識融會貫通，靈活運用知識提高解題能力，提高綜合素質和綜合能力。在對“一題多解”進行探討時教師不僅應教給學生知識，更應注重教會學生學會學習，使我們的教學取得明顯的“教學效應”。下面，筆者就以單招三年級總復習中一個立體幾何的典型例題來介紹一下如何培養學生“一題多解”的能力。

立體幾何一向是學生的薄弱部分，特別是輔助線的添加，很多學生不得要領。筆者通過下一例題的教學，從不同角度添加輔助線的方法來教會學生如何解決這類問題。

例題：如圖一，在60°的二面角的棱上，有兩個點A、B，AC、BD分別是在這個二面角的兩個面內垂直于AB的線段。已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的長。

分析：這是一個非常典型的二面角和異面直線的題目，通常有兩種解法，但筆者通過知識的引申和添加不同的輔助線，在教學中采用四種不同的方法進行講解，取得了良好的效果。

解法一：因為AC、BD是異面直線，同時AB是AC、BD的公垂線，AC、BD所成角為60°，因此由異面直線上兩點間的距離公式即可求得距離：

CD＝

＝

＝2

點評：本題所用公式學生感覺很難掌握，而且此公式還需判斷“±”號，那能否利用添加輔助線的方法來解決這一問題呢？

解法二：如圖二，在α面內作BG⊥AB，連接CG、DG，由二面角的定義可知∠DBG＝60°，根據余弦定理可得DG＝ ＝2

又因為CG⊥面BDG，所以△CGD為直角三角形，從而可得CD＝ ＝2

點評：這一解法的輔助線添加正是二面角的性質所要求的，一方面它構造出了二面角的平面角，另一方面也構造出直角△CDG，從而求出斜邊CD的值。

解法三：如圖三，作CE⊥平面β，連接AE，ED，并作EF//AB，則∠CAE＝60°，所以AE＝3。

∵四邊形AEFB為矩形，∴FD＝5。

則在Rt△EFD可得ED= ，

又在Rt△CED可得CD＝2 。

點評：這一解法充分運用二面角定義及三垂線定理的知識，注重平面幾何與立體幾何的充分結合，同時強調數學中的轉化思想。

解法二和解法三表面看來較煩，實則是將解法一進行了有效的分解，充分體現了數學的轉化思想。

既然能把CD轉化為某一直角邊，那么能否將CD轉化為某一幾何體中的線段呢？

解法四：如圖四，作BG AC、EF AC、DH AC，并連接CF、AE、FH、ED、GH，此時得到的即是一個平行六面體CFGH－AEDB，而CD即為這個平行六面體的對角線，因此易得CD=2 。

點評：這一解法將幾條看似無關的線段通過作輔助線的方法放在了同一個平行六面體中，并且所求線段即為平行六面體的對角線，這一解法充分體現了添加輔助線的精妙之處。

向量融數形于一體，具有代數形式和幾何形式“雙重身份”，既有線段表達式，又有坐標表達式，是解決問題的一種重要工具，向量本身的特點決定了它與立體幾何、解析幾何、三角函數等內容的自然融合，是知識的“交匯點”，因此空間向量為立體幾何中夾角與距離的求解提供了通法。下面就介紹一種通過空間向量來解決這個題的方法。

解法五：如圖五，以A作為原點，以過A且平行于BD的直線作為x軸，棱AB作為y軸，垂直于面β且過A點的直線作為z軸建立空間坐標系。

此時，根據已知條件可得C點坐標為（3，0，3 ），D點坐標為（8，4，0），根據空間中兩點間的距離公式可得｜ ｜＝ ＝2 。

這一解法同時也體現了幾何與代數的可轉化性。

實踐證明，對學生一題多解能力的訓練，使學生復習做題時不再是“題海無涯苦無休”，而是出現了“柳暗花明，萬紫千紅”的氛圍。同時從“一題多解”的教學，也反映出一個教師對教學的認識和觀念的差異，是重形式還是重實質，是看過程還是看目的，是側重知識的機械記憶還是著眼于培養學生的學習能力。這是關系到教學是否成功的關鍵。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”