函數連續性的實質與間斷點的學習

摘要函數的連續性是函數的重要性質，文章通過討論函數連續性的四個等價定義，揭示函數連續性的實質，最后給出求函數間斷點的步驟方法。

關鍵詞 連續函數 間斷點 極限

中圖分類號:O171文獻標識碼:A

連續函數是高等數學中著重研究的一類函數。函數的連續性是函數的基本性質之一，它是用極限方法研究函數解析性質的第一個范例，因此函數的連續性是函數極限的發展也是以后學習的基礎，本文通過深刻剖析函數連續性與間斷的實質幫助學生真正掌握函數的這一性質。首先給出函數連續性的四個等價定義，通過分析等價定義幫助初學者深刻理解函數的這一性質，最后給出求函數間斷點的方法。

1 函數連續的四個等價定義

定義1設函數在的某一鄰域內有定義，當自變量在處取得增量(即在這個鄰域內從變到)時，函數值的增量為，如果有極限則稱函數在處連續。

定義2設函數在的某一鄰域內有定義，如果函數當時的極限存在，且等于它在處的函數值即，則稱函數在處連續。

定義3\"\"定義，設函數在的某一鄰域內有定義，如果，，||有||成立，則稱函數在處連續。

定義4設函數在的某一鄰域內有定義，如果，則稱函數在處連續。

對于函數的連續性，不同的教材的定義方式不同，一般式選擇上述四個定義中的一個作為定義，其余的作為推論的形式給出，本文通過剖析上述四個等價定義，揭示函數連續性的實質。

1.1 關于定義1

定義1簡單直觀的刻畫了連續函數在某一點的自變量的增量和函數值增量之間的關系:若當函數自變量的變化量無限趨于零時，函數值的該改變量也無限趨于零，則函數在這一點連續。連續函數的定義最初是逐點定義的，若函數在一個開區間內的任意一點都是連續的則稱函數在這個開區間區間是連續的。

例 1 函數在處是連續的。

根據定義1，要判斷函數在某點是否連續只要給自變量一個增量，考查函數值在自變量的增量趨于零時是否極限是零即可。在此，給自變量增量，求函數值的改變量，當時，所以函數在處是連續的。

1.2關于定義2

定義2刻畫了函數的極限與函數連續之間的關系:極限等于函數值。函數當時的極限刻畫了函數在附近的變化趨勢;函數在處連續，則揭示了函數在處不間斷的性態，從幾何直觀上看，就是函數的圖像能夠一筆畫成。能夠一筆畫成的曲線上的點應該滿足:在任意一點附近函數值逐漸趨于這一點的極限值，即。定義2同時說明函數在處連續包含三層含意:(1)在的某一鄰域內有定義，函數在的值存在;(2)函數在的極限存在;(3)極限等于函數值。不滿足上述三條中的任意一條函數就間斷。

例2判斷函數在處的連續性.

由定義2，確定函數的連續性，既要考察函數在處是否滿足上述條件，本函數中在處有定義且函數值存在;由無窮小與有界量的乘積為無窮小知，函數在的極限存在sin。從而有sin即極限等于函數值，所以函數在處連續。

1.3 關于定義3

定義2的核心是，說明了函數連續的實質是函數以處的函數值為函數的極限。將函數在處的極限寫成\"\"語言，即設函數在的某一空心鄰域內有定義，如果，，0||有||成立，但是函數在處的極限與函數在處是否有定義無關，而函數的連續性則揭示了函數在處的性態(當然要包含這一點)，函數在處應該取得函數值，且要求函數在處的極限正好是。從而在極限的定義中加上這一點即可得到函數在處的連續性定義。連續函數的\"\"語言定義具有一定抽象性，對初學者可能有一定的困難，通過結合極限的概念理解可以得到較好的教學效果。

1.4 關于定義4

極限在某一點存在的充要條件是:函數在這一點的左右極限存在且相等，有定義2可以定義函數左連續，右連續。類似得出函數在某一點處左右連續則函數在這一點連續，即定義4。

例 3 討論函數在和處的連續性.

分析:根據定義4 判斷函數的連續性重要計算函數在這一點的左右極限是否都等于在這一點的函數值即可; 在處 。因為(下轉第184頁)(上接第182頁)

，所以，但是，，故在處不連續.在處:左極限

右極限

因為，所以不存在，在處不連續.

2 函數間斷點的求法

函數在一點處如果不連續則稱函數在這一點處間斷，根據函數連續性的定義知，函數在點滿足下列條件之一，則為函數的間斷點。

(1)在處沒有定義;(2)極限不存在

(3)在點處有定義，且極限存在但是，根據連續函數的定義和函數間斷點的定義[2]給出判斷函數間斷點的步驟:

設函數的左右極限分別為

例 4討論函數，在處的連續性。

解 求函數的左右極限，，

，∴為函數的跳躍間斷點。

例5 求下列函數的間斷點，并判斷其類型。若為可去間斷點，試補充或修改定義后使其為連續點。

解因為在處無定義，所以是的間斷點.。

又因

所以為的第一類不可去間斷點(跳躍間斷點)。 在處有定義，但是極限不存在，所以為的第二類間斷點中的無窮間斷點。

在處有定義，而且但是，故為的第一類間斷點中的可去間斷點，若令，則在處連續。

3 結論

函數的連續性與極限密切相關，在講解函數的連續性時注意通過極限的定義逐漸過渡到連續的定義。在求函數間斷點的時候主要從函數的左右極限入手，考察函數左右極限是否存在，按照上述方法逐步計算即可。

參考文獻

[1] 馬順業.數學分析研究 [M].山東大學出版社，1996.

[2] 吳贛昌.高等數學(上冊)[M].中國人民大學出版社，2006.