牛頓插值公式的一個(gè)應(yīng)用

摘要本文從具體例題出發(fā)，通過(guò)數(shù)值逼近中的牛頓插值公式，解決了初等數(shù)學(xué)中的一類(lèi)較為復(fù)雜的求函數(shù)值、求范圍、作證明的相關(guān)問(wèn)題。

關(guān)鍵字 牛頓插值公式 函數(shù)值 范圍

中圖分類(lèi)號(hào):O711文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

牛頓(Newton)插值是數(shù)值逼近中的一個(gè)重要部分，它向前繼承了拉格朗日(Lagrange)插值，向后引出了埃爾米特(Hermite)插值，可以看作對(duì)多項(xiàng)式插值作了一個(gè)簡(jiǎn)單的統(tǒng)一。相關(guān)的研究也是比比皆是。牛頓插值公式具有形式簡(jiǎn)單，便于計(jì)算等優(yōu)點(diǎn)。因此，在插值中得到的廣泛的應(yīng)用。本文將從初等數(shù)學(xué)的角度來(lái)研究牛頓插值公式的有效應(yīng)用。

1 牛頓插值公式

定義1:若在[a，b]上給出n+1個(gè)點(diǎn)，f (x)是[a，b]上的實(shí)值函數(shù)，則可得f (x)在[a，b]的牛頓插值多項(xiàng)式，

，

(1)

其中插值余項(xiàng)

而則稱(chēng)之為(n階)差商，記

(2)

所以上定義可知，只要按順序求出0到n階的差商，我們就可以求出已知節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式p(x)，而在所求的過(guò)程中，前面所求的階差商同時(shí)為階差商服務(wù)的。當(dāng)然這也正是牛頓插值公式的優(yōu)點(diǎn)所在。

定理1:對(duì)于上述定義中的牛頓插值多項(xiàng)式是唯一的。(證明參見(jiàn)文獻(xiàn)[1])

定理2:對(duì)于定義1中，如果f (x)為多項(xiàng)式函數(shù)，則p (x)可以精確表示f (x)。

根據(jù)定義1以及定理1，我們不難得到定理2，即如果給定的f(x)本身就是多項(xiàng)式，則我們根據(jù)(1)所得的p(x)就應(yīng)該是f(x)本身了。我們現(xiàn)在就利用這點(diǎn)來(lái)解決初等數(shù)學(xué)中的相關(guān)問(wèn)題。

2 求函數(shù)值問(wèn)題

例1、已知求f(4).

解:(對(duì)于一般情況我們會(huì)選擇代入后解一個(gè)方程組，但當(dāng)方程組較多是解起來(lái)比較麻煩，且易出錯(cuò)，現(xiàn)以牛頓插值的方法來(lái)解)

由定義知，我們可根據(jù)(-1，2)，(1，1)，(2，1)三點(diǎn)來(lái)作牛頓插值，由定理2知其

可精確表示f(x)，即

則

由(2)式知:

，，

所以

3 求范圍問(wèn)題

例2、已知 ，且滿(mǎn)足，，，試求的范圍。

解:由公式(1)，現(xiàn)將f (x)在x=1，x=2，x=3三點(diǎn)作牛頓插值，則得到:

再按(2)得，，

所以

故max

min

所以得到:

例3、已知，滿(mǎn)足，求的范圍。

解:同上將在x=1，x=2，x=3點(diǎn)展開(kāi)，得

由已知條件，方程的一次項(xiàng)系數(shù)為零，則通過(guò)與上式的比較知:，按(2)式分別計(jì)算可得到:，故max，min，所以得到:

4 用作證明

例4、已知，求證:||，||，||中至少有一個(gè)不小于1/2。 (下轉(zhuǎn)第145頁(yè))(上接第138頁(yè))

證明:同上，先做牛頓插值，有

由已知條件知二次項(xiàng)的系數(shù)為1，也即:

展開(kāi)即得

如果||，||，||都小于1/2，則

||+2||+||]

得到矛盾，所以原命題成立。

5 結(jié)語(yǔ)

從上可以看出，牛頓插值很好地解決了相關(guān)的題目，當(dāng)然這種方法對(duì)于次數(shù)更高也是同樣適合的(只要給出的函數(shù)是多項(xiàng)式函數(shù)即可)，上述例對(duì)于高中生來(lái)說(shuō)有一定難度，應(yīng)用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)去做卻變的很簡(jiǎn)單。從這里可以看出高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)對(duì)我們中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)具有重要的作用。相信可以作為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的一個(gè)很好的補(bǔ)充內(nèi)容。

參考文獻(xiàn)

[1]合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系編.計(jì)算方法.合肥:合肥工業(yè)大學(xué)出版社，2004.

[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析.北京:高等教育出版社，2001.