數學運算律教學中的“建構”和“解構”

費嶺峰　胡　娟

“運算律”是小學數學“數的運算”中的一個重要內容。新課程從第二學段起安排了這塊內容[1]。與傳統教材相比，新課程實驗教科書在“運算律”內容的編寫上呈現出兩個特點：一是“運算律”引出基于解決問題的背景，突出了“運算律”的發生發展過程；二是減少了“運算律”純技能訓練的內容，突出了應用“運算律”靈活解決問題的內容[2]。這樣的編寫特點，在突出“運算律”教學的過程性和數學思考價值的同時，增加了教材理解和把握上的難度，很多一線教師在設定教學目標和實施教學時，經常為到底是在進行規律探究還是在應用規律解決問題而煩惱。然而筆者認為，教材這樣的編寫特點，有利于突出“運算律”教學的“建構”與“解構”過程，突出數學本源性知識的介入與學生認知經驗的利用，有利于引導學生在充分理解“運算律”意義的基礎上掌握“運算律”，并能靈活運用“運算律”解決實際問題。在實踐中，欲使教材編寫者的意圖能充分實現，一線教師需要思考以下幾個問題。

一、 “運算律”教學需要學生建構什么

所謂建構，是指學習者在具體的學習情景中，結合自己已有的經驗，以同化或順應的方式理解、掌握乃至應用新知的過程。小學數學“運算律”教學中的建構，包含了兩個方面的內容。

1.建構數學模型

這是顯性層面上的要求。比如在“乘法分配律”一課的教學中，學生通過學習需要理解“兩個數的和與一個數相乘，可以先把它們與這個數分別相乘，再相加”這一定律的內容，還能夠用“（a＋b）×c＝a×c＋b×c”這樣的等式來表示，建構相應的數學模型。又如“商不變的規律”的教學，需要學生知道“在除法里，被除數和除數同時擴大或者縮小相同的倍數（或幾分之幾），商不變”的基本內容，甚至還可以引導學生嘗試用數學符號來表示出相應的模型。

2.建構數學思想

這是隱性層面上的要求，也是學生數學思想發展的過程。即引導學生用數學語言解釋，或者用數學符號表達某個具體情景所描述的現象。這是數學學習由具體到抽象的過程，也是一個數學簡化的過程。如有位老師在教學“乘法分配律”一課時，通過組織學生解答“學校要購買課桌椅，每張課桌180元，每把椅子60元。要買300套這樣的課桌椅共需要多少錢？”和“一年級新生要購買校服，上衣每件50元，褲子每條30元。購買280套校服共需要多少元？”等多個具體的問題，并通過（180＋60）×300＝180×300＋60×300和（50＋30）×280＝50×280＋30×280等算式形式與實質的探討，抽象出了（a＋b）×c＝a×c＋b×c這一相關的數學模型。整個過程從情境到算式，再到抽象提煉成數學模型，貫穿了數學思考的要求。這也正是一個建構數學思想方法的過程。

二、 怎樣的教學過程有利于學生對“運算律”進行建構

當明確了“運算律”教學中，引導學生建構數學模型和數學思想是重要的教學目標之后，教學過程的有效落實顯得尤為重要。實踐中我們需要做好兩個方面的工作。

1.提供有利于調動學生認知經驗的學習材料

建構是以學生已有經驗為基礎的，包括兩個方面：一是生活經驗，二是知識經驗。建構主義教學觀認為，“主體以已有的經驗為基礎，通過與外部世界的相互作用而主動建構新的理解、新的心理表征”，而“建構新信息的過程即是對舊信息的重新建構過程”[3]。從中我們可以看出，讓學生對“運算律”進行建構的重要條件之一，是學生相關的經驗被激起，并能引導其利用已有的認知經驗建構起新知。因此，在“運算律”教學中要使學生進行有效建構，需要選擇一些充分調動學生認知經驗的學習材料，并配以學生充分應用認知經驗解決問題的學習過程。

如在教學“連減的簡便計算”這節內容時，可以設計這樣一個問題：一本書一共234頁，昨天看了66頁，今天又看了34頁，問還剩多少頁沒有看？利用學生的生活經驗（書看一天會減少頁數，再看又會減少，只要每天都看，剩余的頁數會越來越少）和數學經驗（減法運算，即總頁數減去看了的頁數，等于剩下的頁數）來理解：“總頁數連續減去兩天看的頁數”與“總頁數減去兩天一共看的頁數”這兩種不同方法背后的實質是相同的，即：一個數不管是一個一個連續減去幾個數，還是一次性減去這幾個數的和，均是從這個數中去掉同樣多的數量，所以結果應該是不變的。

2.設計激勵學生進行數學思考的學習過程

學生的主動思考是有效建構的基本條件。在“運算律”教學中，教師可以通過以下幾個層次來引導學生進行數學思考。

（1）誘發學生暴露思維起點。這是學生經驗暴露的過程。期間既有合理的成份，也可能有不合理的成份。但這是建構新知所需要的基本條件。如在“商不變的規律”教學中，當教師呈現了10÷2＝5后，要求學生寫出商同樣等于5的算式時，學生以原有的經驗寫出了很多算式：20÷4＝5，15÷3＝5，50÷10＝5，40÷8＝5……

接著請學生說一說是怎樣想的。有的說，是根據乘法口訣來寫的；有的說，是被除數加上一個數，除數也加上一個數；還有的說，被除數乘以一個數，除數也乘以一個數等等。可以看出，學生憑經驗寫出算式時，思維過程是不同的。此時，教師才有可能結合學生不同的思維過程，引導其去探討、辨析，通過調整思維過程，完善認識，最后歸納得出規律。

（2）組織學生辨析比較。辨析比較是以學生原有經驗為基礎的，是學生固有思維的調整過程。在引導學生建構正確的“運算律”意義中，辨析比較是激發學生產生認知沖突的重要手段。

①通過辨析比較，發現不同現象中的共性。從情境到數學本質的提煉，這是數學思考的基本任務，也是教師組織規律教學常用的思路。如前面談到的那位教師在教學“乘法分配律”這節內容中，提供了兩個不同的生活情境。從情境內容來看，這是兩件并不相同的事情，然而在解決問題過程中，本質卻是相同的：都能用兩種方法解決問題，且對應的方法在形式結構上相同。教師正是在引導學生對這些相同元素的關注中，抽象提煉出相關數學模型的。而這樣一個過程，也正是學生數學思維從具體形象到本質抽象的過程。

②通過辨析比較，思考研究材料是否典型。學習材料是學生進行數學學習的重要載體。引導學生對學習材料的典型與否進行思考，也是提高學生思辨能力，完善對運算律認識的重要策略。在實踐中，很多時候，學生正是由于有了對學習材料典型性的質疑，特別是對一些特殊對象的思考，才有對數學規律完整認識的過程。如：“商不變規律”中，當小結得出“被除數和除數同時乘以（或除以）一個數，商不變”后，對“乘以（或除以）0”的特殊性的考慮，才真正完成了“商不變的規律”的認識過程。

③通過辨析比較，反思思維過程是否完善，是否存在反例。運算律認識中思維過程的完整與否，也是學生形成清晰數學認識的重要組成部分。如在“連除性質”的教學中，當學生對a÷b÷c=a÷（b×c）理解后，又在適當的時候增加了對a÷b÷c=a÷c÷b這種形式的交流與探討。正因為有了對基本形式變式的思考，才使學生的思維過程比較完整，對“連除性質”的認識也更為圓滿。

另外，小學數學的“運算律”教學，一般是引導學生應用不完全歸納法探究得出規律的。因此對有沒有反例的關注很有必要。如“乘法分配律”一課教學中，學生初步得出規律后，學生又寫出了如（8＋3）×4＝8×4＋3×4、（5＋1）×3＝5×3＋1×3、（1＋9）×5＝1×5＋9×5等這樣的算式進行驗證，發現都是成立的。可還有一位學生提出自己的想法：“老師，雖然舉了許多例子，可萬一還是碰巧，那怎么辦？”很多學生也贊同：“是呀，萬一還是碰巧呢？”而正是對這“萬一”的思考，有學生提出了自己的想法：“這樣的算式都應該是成立的。以（8＋3）×4＝8×4＋3×4為例吧，左邊算式括號里算得11，表示有11個4，右邊算式的8×4表示有8個4、3×4表示有3個4，加起來也是在算11個4。等號兩邊的算式不同，但它們的意思是相同的，都表示11個4，所以是相等的。其它的式子，道理是一樣的。”正是這對反例的探討，適時生成了學生理解運算律的本質意義的機會。

（3）引導學生歸納提煉。因為是規律，一般具有一定的結構性特點，是能夠進行數學抽象和模型提煉的。因此，運算律教學一般需要有歸納提煉的環節。歸納提煉的方式可以是不同的，有時只需引導學生用簡潔的數學語言來表述相應的“運算律”就可以了，而有時又需要學生能用相應的數學符號來表達相關的“運算律”。當學生對所發現的規律進行歸納提煉時，學生會有思維的介入。這正是培養其抽象思維能力的極佳時機，也是學生建構相應的“運算律”所必不可少的過程。

所謂解構，是相對于建構來說的，是指學習者將已經形成的觀點或者模型，通過相應的實踐進行驗證，最終保留合理的部分。這是學習者知識內化不可缺少的重要環節。“運算律”的解構過程是一個“運算律”意義的深入理解、認識提升的過程，也是一個進一步提升學生數學思維水平的重要過程。在學生的數學學習中具有重要的地位。如乘法對加法的分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c的基本模型建立之后，如果僅僅停留于基本模型，那對這一運算定律的認識還只是淺層次的，或者說是機械的。也只有當學生對乘法對減法的分配，甚至一些更為復雜的變式可以理解和應用時，才能認為是真正掌握了“乘法分配律”這一運算定律了。

三、 如何有效落實“運算律”的解構過程

1.在組織基本訓練的同時，倡導算法多樣化

如在“連除性質”這節內容教學中，在學生掌握規律后進行的練習中，執教教師設計了兩個不同層次的練習：

層次一：用簡便方法計算，習題有400÷25÷4、180÷12÷5。這兩題屬于基本訓練，有利于學生鞏固對性質的理解。

層次二：怎樣簡便就怎樣算，習題有390÷13÷3、1500÷4÷15、350÷14。這三題則是可以靈活計算的。特別是第3題，是一般的除法算式。通過練習培養學生靈活應用性質解決實際問題的能力，而當學生能夠靈活應用規律進行簡算時，其對規律的認識已不僅僅只是一些字母或數字的認識，而是上升到數感和數學意識的層面了。

2.在解決具體問題中，引導學生根據數據特征選擇合理的算法

重視用所學知識解決具體問題是新課程理念下的數學課堂教學有別于傳統數學教學的特征之一。“運算律”教學也離不開這一要求。如在“加法交換律結合律”這一規律教學后，可以組織學生解決這樣的問題：計算5＋137＋45＋63＋50。計算時，可以有3個數相加湊成百，讓學生感覺方法是靈活多變的。還可以組織學生解決這樣的問題：某次數學單元測試第一小組6位同學的成績分別為98、92、96、100、88、94，第二小組6位同學的成績分別為93、97、92、99、97、91。請問哪個小組的總分最高？這一問題不僅關注了交換、結合相關數據來計算，同時也有了算法上的不同，即學生不一定采用湊十湊百來算，可能選一個比較接近平均數的數，然后跟這個數比較得出的數相加減得出總和，再除以6后加上90，得出平均成績。有學生也可能把這些數跟滿分100比，把少的總和平均一下，然后用100去減得出平均成績。這樣的計算過程已經不單純是對運算定律的簡單模仿，而是對“運算律”理解、運用和內化的過程，是學生思維提升的表現。這樣的“解構”過程也是運算律學習所需要的。

總之，學生學習運算律的過程是一個需要其主動“建構”，并通過靈活應用，適時完成“解構”的過程。學生的學習唯有經歷必要“建構”與“解構”過程，他們的學習才會是有利于其內化的、有效的。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部制訂.全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）[M].北京：北京師范大學出版社，2001.21.

[2] 費嶺峰.今天，我們該如何教“簡便計算”？[J].小學數學教師，2008（1，2）：75.

[3] 張華著.課程與教學論[M].上海：上海教育出版社，2000.466.

責任編輯：陳國慶