解讀“彈簧振子”模型

黎超雄

摘要：彈簧振子模型是一個理想化模型，也是教學中的難點。本文結合若干例題對彈簧振子的成立條件、受力特征、運動特征、能量特征進行了討論。

關鍵詞：彈簧振子；特征

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148(2009)4(S)-0078-2

彈簧振子是簡諧運動的一個重要實例，是一個理想化模型。筆者在教學中發現很多同學在學習彈簧振子時，把握不住其要點，或對要點理解不深刻，在解此類題目時常常出錯。筆者在教學中通過正確理解彈簧振子，注意以下幾個方面的教學，取得了較好的效果。

1 理解振子的成立條件

彈簧振子是由一根可認為質量為零的彈簧和一個有孔的振子小球組成的。振子小球穿在一水平光滑桿上，可以在桿上滑動，振子在運動中沒有任何摩擦和介質阻力，如圖1所示。在實際情況下其成立條件可概括為：①彈簧的質量比小球的質量小得多，可以忽略彈簧的質量；②桿光滑，忽略摩擦和介質阻力；③受回復力作用（回復力為彈力T）。滿足以上三個條件的系統稱為彈簧振子。

2 理解振子的受力特征

振子小球在振動過程中受豎直向下的重力mg、豎直向上的支持力F璑和水平方向的彈力T三個力的作用，重力和支持力相互平衡，回復力由彈簧的彈力提供，即F=-kx。此式表明振子小球所受的回復力的大小跟振動中的位移x成正比，方向始終與位移方向相反，總是指向平衡位置，此回復力是周期性變化的，如圖1 所示。

例1 圖2為一水平放置，在水平方向振動的彈簧振子的振動圖象，由此可知（ ）。

A.在t₁時刻，振子的速度最大，所受的彈力最大

B.在t₂時刻，振子的速度最大，所受的彈力最小

C.在t₃時刻，振子的速度最大，所受的彈力最小

D.在t₄時刻，振子的速度最大，所受的彈力最大

解析 由圖2知，在t₁和t₃時刻，振子分別處于正向最大位移和負向最大位移，速度為零，彈簧形變最大，振子所受彈力最大。由圖2知，在t₂和t₄時刻，振子處于平衡位置，速度最大，彈簧無形變，振子所受彈力最小，故選項B正確。

點評 彈簧振子振動過程中，回復力由彈簧的彈力提供，回復力的大小隨位移的增大而增大，隨位移的減小而減小；速度的大小隨位移的增大而減小，隨位移的減小而增大。

3 理解振子的運動特征

(1)位移特點：位移是從平衡位置指向振子所在位置的有向線段，是矢量，其方向為從平衡位置指向振子所在位置，大小為平衡位置到該位置的距離。振子在兩端點A、A′時位移最大，在平衡位置O點時位移為零，振子通過平衡位置位移方向改變，如圖1所示。但要注意，振子位移與直線運動中的位移含義不同。

(2)速度特點：速度是描述振子在平衡位置附近運動快慢的物理量。在建立的坐標軸上，速度的正負號表示振子運動方向與坐標軸的正方向相同或相反。應該明確速度與位移是彼此獨立的物理量。如振子通過同一位置，它的位移的大小是一定的，而其速度方向卻有兩種：指向或背離平衡位置。振子在兩端點A、A′（最大位移處）時速度為零，在平衡位置O處速度最大，振子在最大位移處速度將改變方向，如圖1所示。

(4)運動性質特點：由于簡諧運動的回復力是變力，所以振子的運動性質是變加速運動，不是勻變速運動。如圖1所示，在A→O過程中，振子做加速度減小的變加速運動；在O→A′ 過程中，振子做加速度增大的變減速運動；在A′→O過程中，振子做加速度減小的變加速運動；在O→A過程中，振子做加速度增大的變減速運動。

例2 一彈簧振子做簡諧運動，下列說法中正確的是（ ）。

A.若位移為負值，則速度一定為正值，加速度也一定為正值

B.振子通過平衡位置時，速度為零，加速度最大

C.振子每次經過平衡位置時，加速度相同，速度也一定相同

D.振子每次通過同一位置時，其速度不一定相同，但加速度一定相同

解析 因為彈簧振子的位移是以平衡位置O為起點的，設向右為正方向，則當振子在OA段時，位移為正，在OA′段時，位移為負，可見振子由O向A′運動時其位移為負，速度也為負，所以選項A錯誤。振子在平衡位置O時，回復力為零，加速度為零，但速度最大，所以B錯誤。振子在平衡位置O時，速度方向是不同的（可正可負），所以選項C錯誤。由a=-kmx可知，x相同時，加速度相同，但振子在該點的速度方向可向右也可向左，所以選項D正確。

點評 分析振動過程中物理量的變化關系時，應以位移為橋梁進行分析，即位移增大時，回復力、加速度均增大，速度減小；位移減小時，回復力、加速度均減小，速度增大。速度在位移最大處改變方向；位移、回復力、加速度均在平衡位置處改變方向。

4 理解振子的能量特征

彈簧振子做簡諧運動，振動過程是一個動能和勢能不斷相互轉化的過程，在任意時刻動能和勢能之和等于振動物體的機械能。在沒有損耗時，振動過程中機械能守恒，振動物體的機械能的大小與振幅有關，振幅越大，振子的能量越大。

例3 如圖3所示為某一個彈簧振子做簡諧運動的振動圖象，由圖象可知（ ）。

A.在1s時由于位移為零，所以振動能量為零

B.在2s時振子具有最大勢能

C.在3.5s時具有的能量尚未達到最大值

D.在4s時振子的動能最大

解析 在1s時振子位移為零，但速度最大，動能最大，振動能量不為零，所以選項A錯誤。在2s時振子位移最大，勢能最大，所以選項B正確。做簡諧運動的彈簧振子，機械能守恒，在任意時刻機械能相等，所以選項C錯誤。在4s時振子位移最大，動能為零，所以選項D錯誤。

點評 彈簧振子振動過程中機械能守恒，動能與勢能相互轉化，可以以位移作為聯系的橋梁，即勢能隨位移的增大而增大，動能隨位移的增大而減小；勢能隨位移的減小而減小，動能隨位移的減小而增大。

(欄目編輯張正嚴)