淺談“最短路線”問題

雷慶蘭

摘要:文章從例1出發,糾正了同學們在解題中容易出現的錯誤想法,給出了例1的解答過程,并從解答中提出問題,展開進一步的分析,得出結論,讓同學們對“最短路線”問題有更清楚的認識。接著將例2作為思考題加以鞏固。最后總結解決這類問題的基本思路。

關鍵詞:最短路線;展開圖;總結

中圖分類號:G633.6文獻標識碼:A文章編號:1006-8937(2009)18-0177-01

我們先看下面的問題。例1,問題一:已知圓柱的底面半徑為4cm,高為6cm,當螞蟻從A爬行到B點,螞蟻爬行最短路線的長度為多少?小明方案:從A到C,再由C到B是最短的,即AC+CB。小亮方案:畫出圓柱的側面展開圖,在Rt△ABC中,CB=4 cm,AC=6cm,AB是最短的。你認為誰有道理,請通過計算加以解釋。問題二:探究當高度為4cm,其它條件不變時,情況又是怎樣呢?這是一個有趣的數學問題。讀完題目后,很多同學會有下面的想法:

①有的同學認為:根據“兩點之間,線段最短”,連結AB,線段AB即為最短路線,如圖1—1。這種想法是錯誤的。因為螞蟻是在圓柱體的表面爬行,它不可能按線段AB這個路線爬行。

②有的同學認為:還有一種方案,從A到C,再走弧CB。這也是一條爬行的路線,但是CB=8cm,而弧CB=4 cm,即弧CB>線段CB。因此,這種方案與小明的方案相比,顯然小明的方案更符合題意。

③有的同學認為:根據“三角形中任意兩邊之和大于第三邊”,即AC+CB>AB,所以不需通過計算可知,小亮的方案有道理。這種想法也是錯誤的。因為CB為圓柱的底面直徑,而CB為弧CB的長度,即圓柱底面圓周長的一半,因此無法直接比較AC+CB與AB的大小,還需根據已知條件,通過計算得出答案。

問題正確的解答過程如下:

解:(1)依題意可得:

小明所求長度為:AC+CB=6+4×2=6+8=14cm

在Rt△ABC中,根據勾股定理得

小亮所求長度為:AB= cm

∵193.75< =196 ∴AB

∴小亮所選擇的路線最短,即螞蟻爬行最短的路線長度為cm。

(2)依題意可得:AC+CB=4+4×2=12cmAB= cm

∵173.75> =144

∴AB>AC+CB

∴小明所選擇的路線最短,即螞蟻爬行最短的路線長度為12cm。

由問題的解答過程,我們發現:(1)中小亮所選擇路線最短,而(2)中小明所選擇路線最短。那有的同學會問:這兩種路線的長度有可能相等嗎?為解決這個問題,我們可以設圓柱的底面半徑為r,高為h,當AC+CB=AB時,當 時,AC+CB=AB,即兩種路線的長度相等,當 時, AC+CB>AB,即AB是最短的,按小亮所選的路線爬行,當 時, AC+CB

因此,螞蟻有2條可行的路線,但按哪條路線爬行是最短的,還與題中h、r的取值有關。(注:在解題過程中, 取3.14,取近似值時保留到小數點后兩位)

有興趣的同學可以思考下面的這道題。

例2是一個長方體底座,AB=10m,BC=3m,BF=4m,求一只小甲蟲從點A 出發爬到G最短的路徑為多少?

分析:本題的關鍵是畫出長方體的展開圖,通過分類討論再比較哪條路徑最短。

你是這樣想的嗎?

解:分3種情況討論:

(1)將前面與右面展開。

根據“兩點之間,線段最短”,連結AG。

在Rt△ACG中,AC=AB+BC=10+ 3=13m,CG=4m,由勾股定理得路徑AG= m

(2)將下面與右面展開,連結AG。

在Rt△AFG中,AF=AB+BF=10+ 4=14m,FG=3m,由勾股定理得路徑AG= m

(3)將前面與上面展開,如圖2—4,連結AG。

在Rt△ABG中,BG=BF+FG=4+ 3=7m,AB=10m,由勾股定理得路徑AG= m

∴路徑(3)方式爬行的路徑最短,即最短的路徑為 m。

綜上所述,解決這類問題的基本思路為:找出符合題意的路線(可能有2種或2種以上),如果不能直接得出它們長度的大小關系,就通過計算比較,選擇路線,得出答案。

參考文獻:

[1] 伍鵬.在線課堂,八年級數學[M].上海:龍門書局出版社.

2008.