“逼近法”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

林 曉

“逼近法”在數(shù)學(xué)辭典中被解釋為：“一種求方程(近似)解的方法。它的步驟是，先取解的一個(gè)初始估計(jì)值，然后通過一系列的步驟逐步縮小估計(jì)值的誤差。它一般通過迭代來實(shí)現(xiàn)，因此亦稱迭代法。利用這種方法解方程，不僅可以在理論上證明解的存在，而且還提供了具體的數(shù)值解法。”如果單純由這個(gè)解釋，我們很難將它同小學(xué)數(shù)學(xué)掛上鉤。然而，筆者在教學(xué)“雞兔同籠”一課的過程中，卻發(fā)現(xiàn)了這一數(shù)學(xué)思想方法在學(xué)生探究數(shù)學(xué)知識中的重要性。

一、“逼近法”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

“雞兔同籠”是一道有趣的古代名題。多年來，人們已經(jīng)想出了許多解題方法，較為公認(rèn)的有以下幾種。下面就以“一個(gè)農(nóng)民有若干只雞和兔子，這些家畜共有50個(gè)頭和140條腿，問這個(gè)農(nóng)民有多少只雞和多少只兔子?”為例進(jìn)行說明。

(一)試探法

一共有50只家畜，它們不可能全是雞或兔子，若全是雞它僅有100條腿；若全是兔子將有200條腿。但是，它們恰好有140條腿。如果正好一半是雞，另一半是兔子，那么它們就將有……

如果我們把雞的數(shù)目取小一些，那么兔子的數(shù)目就會相應(yīng)的變大，而這就使得腿數(shù)增大了。反之，如果我們把雞的數(shù)目增加一些……對了，必須多于25只雞，讓我們試一試30只：通過試算，我們得到了雞30只，兔20只的答案。

(二)演繹法

假如每一只雞都用一條腿站著，而每一只兔子都用其(兩條)后腿站著。這樣就只用了半數(shù)的腿，即70條腿。在70這個(gè)數(shù)目中，雞的頭只計(jì)算了一次，而兔子的頭則計(jì)算了兩次。用70這個(gè)數(shù)減去所有的頭數(shù)50，就剩下兔子的頭數(shù)了。兔子共有70-50=20(只)，那么雞是30只。

(三)用代數(shù)的方法

解這個(gè)二元一次方程，得到x=30，y=20。

(四)推廣

我們嘗試考慮把問題中給定的數(shù)字代之以其他數(shù)，特別是大數(shù)，這種考慮是有益的，而把給定的數(shù)字代之以字母，如以h代替50，以，代替140，即令h表示家畜的頭數(shù)，f表示家畜的腿數(shù)。我們所得到的兩個(gè)方程的方程組可改寫成下列形式

把這個(gè)公式重新翻譯成日常語言，即免子數(shù)等于腿數(shù)的一半減頭數(shù)。這正是上面那個(gè)富于想象力的解法二的結(jié)果。

通過對“雞兔同籠”問題的不同解法的比較，我們發(fā)現(xiàn)它們中的每一個(gè)都各有特點(diǎn)。不難看出，第一種解法較為復(fù)雜，因?yàn)榇嬖谥龅酱髷?shù)怎么辦的問題；第二種解法屬于演繹推導(dǎo)方法，求解相對簡單，理解亦相對容易；而第三種和第四種解法即列二元一次方程方法求解。因此，一般情況下，人們較為推崇第二、三和第四種解法。那是不是第一種解法就應(yīng)該被否定呢?不!筆者通過對各種解題方法進(jìn)行分析，特別是對第一種解題方法的分析，認(rèn)為第一種方法是在比較中不斷調(diào)整題解，減少錯(cuò)誤，逐步靠近正確答案的方法。它具備了以下特點(diǎn)：在明確了目標(biāo)后再沿著目標(biāo)方向，不斷探索，不斷調(diào)整，逼近目標(biāo)，直至最后達(dá)到目標(biāo)，使問題獲得解決。而這種方法就是在科學(xué)理論形成過程中，構(gòu)建科學(xué)假說常用的助發(fā)現(xiàn)的方法——逼近法。

逼近法作為科學(xué)假說的助發(fā)現(xiàn)方法，其模式是一種具有信息反饋功能的模式。這種在教學(xué)過程中不甚被人們推崇的方法，恰恰是探索科學(xué)知識，尋求物質(zhì)世界的真實(shí)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的一種重要方法，它對于探索科學(xué)定律等是十分重要的。德國天文學(xué)家開普勒發(fā)現(xiàn)行星運(yùn)行三大定律，就是應(yīng)用逼近法的著名實(shí)例。

二、“逼近法”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

在日常教學(xué)過程中，我們可以通過猜一猜、湊一湊、試一試等方法讓學(xué)生感知“逼近法”的魅力。(一)猜一猜例如一年級在認(rèn)識“20以內(nèi)的數(shù)”后，教師可以組織學(xué)生玩猜數(shù)的游戲，讓學(xué)生用“大一些、小一些，大得多、小得多”等語言來描述數(shù)的大小關(guān)系。等學(xué)生年齡再大一些，就可以讓他去探求怎么猜才能更快地猜到答案，這時(shí)“二分法”就派上用場了。這樣既鍛煉了學(xué)生的數(shù)感，又滲透了“區(qū)間套”逐步逼近的思想。

(二)湊一湊

“年齡問題”對于中低年級學(xué)生來說確實(shí)有些困難，用方程吧，他們沒有相應(yīng)的知識基礎(chǔ)；用算術(shù)解吧，如何理清其間的倍數(shù)關(guān)系也是個(gè)問題。這時(shí)老師可以鼓勵(lì)學(xué)生猜一猜；湊一湊，即大膽猜測，仔細(xì)檢驗(yàn)，不對就改，直到成功。如，小明說：“我比爸爸歲數(shù)的一半少9歲。”爸爸說：“我比小明歲數(shù)的3倍多3歲。”問小明和爸爸各幾歲?在解題時(shí)，可以先猜爸爸40歲，由小明的話可得小明年齡是(40÷2-9)=11歲；再用爸爸的話進(jìn)行檢驗(yàn)，得爸爸的年齡是(11×3+3)=36歲，不對。……一次次試猜，一次次檢驗(yàn)，最后猜到爸爸48歲時(shí)，由小明的話得小明年齡是(48÷2-9)=15歲，再用爸爸的話進(jìn)行檢驗(yàn)，得爸爸年齡是15×3+3=48歲。

即使高年級學(xué)了方程之后，這種試湊法同樣有用。例如“小明玩套圈游戲，套中小雞一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分。小明共套了10次，每次都套中了，每個(gè)小玩具都至少被套中一次。小明套10次共得了61分。問：小雞至多被套中多少次?”我們可以教學(xué)生這樣來列方程：設(shè)套中小雞x次，套中小猴y次，那么套中小狗(10-x-y)次。因?yàn)榈梅譃?1分，所以9x+5y+2(10-x—y)=61，化簡后得7x=41-3y。顯然y越小，x越大。將y=1代入得7x=38，無整數(shù)解。若y=2，7x=35，解得x=5。因此，小明至多套上小雞5次。也就是說我們用試湊法解決了這道看似沒辦法解出的方程，得出了問題的答案。

(三)試一試

“逼近法”的精髓就在于猜測、嘗試、調(diào)整，因此，我們要引導(dǎo)學(xué)生利用技巧去猜，去試。例如在學(xué)習(xí)了長方體的體積計(jì)算公式后，教師可以讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐做這樣的探索：將一張A4紙做成一個(gè)無蓋的長方體形狀紙盒，找出相關(guān)數(shù)據(jù)計(jì)算出它的容積并嘗試尋找最大的容積。學(xué)生在不斷的猜測、嘗試、調(diào)整中既鞏固了長方體的體積計(jì)算方法，又鍛煉了動(dòng)手能力，最重要的是學(xué)生慢慢感悟到長方體高的變化引起了容積的變化，并通過驗(yàn)證，得出最大容積時(shí)高應(yīng)該在4--4.1之間。教師設(shè)計(jì)這樣的實(shí)踐并不在于要得出最終的答案，而是要讓學(xué)生去感知逐步逼近法的思想。

總之，“逼近法”提醒我們，一些看似簡單的事情當(dāng)中蘊(yùn)涵著深遠(yuǎn)的意義。我們在教學(xué)或科研過程中，在積極努力獲得成果的同時(shí)，更要注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，注重研究能力的培養(yǎng)，不應(yīng)該讓采用“試湊法”的學(xué)生們泄氣。反之，應(yīng)該鼓勵(lì)他們巧妙地應(yīng)用逐次逼近這個(gè)基本方法來解決一些實(shí)際問題。

(責(zé)編林劍)