中學數學教科書中的開放題

袁玉清

一段時期中,“問題解決”成為我國數學教育界的重要議題,現在把議題轉移到開放題上來,可以認為是“問題解決”研究的進一步深入,本文擬對開放題的含義以及怎樣在中學數學教科書中引入開放題的問題作初步探討。

一、什么是開放題

在對開放題的討論中,對于什么是開放題,大家的意見尚不一致,因而有必要對開放題的含義作一個規定。此外,有的同仁把某些探索性問題也歸入開放題,雖然對探索題的研究具有公認的意義,但在討論與研究開放題的時候,有必要把這兩者加以區別。

以下是一些學者關于什么是開放題的論述:

(1)答案不固定或者條件不完備的習題,我們稱為開放題;

(2)開放性題是條件多余需選擇、條件不足需補充或答案不固定的題;

(3)有多種正確答案的問題是開放題。這類問題給予學生以自己喜歡的方式解答問題的機會,在解題過程中,學生可以把自己的知識、技能以各種方式結合,去發現新的思想方法;

(4)答案不唯一的問題是開放性的問題;

(5)具有多種不同的解法,或有多種可能的解答的問題,稱之為開放性問題;

(6)問題不必有解,答案不必唯一,條件可以多余。

考察以上論述,關于開放題的條件的描述有:不完備;可以多余;多余需選擇,不足需補充;等等。

關于開放題的答案(結論、解法)的描述有:不固定;有多種;不唯一;不必唯一;不確定;不必有解;等等。

從上可知,雖然對問題條件的描述多種多樣,但對答案的看法比較一致:答案不唯一。筆者認為:(1)問題的“結論”是在問題系統內部相對于問題的“條件”而言的,不能與問題的“答案”概念混淆,問題的“答案(解法)”是相對于整個問題而言的;(2)對于問題的條件不作太多的限定,對問題的答案給以寬松的環境,但要求是多樣化的,豐富多彩的,這正是開放的含義所在。所以,筆者認為對開放題可以作出以下簡明的描述:答案不唯一的問題稱為開放題。開放題的一個顯著特征是:答案的多樣性(多層次性)。

一個問題是開放還是封閉常常取決于提出問題時學生的知識水平如何。例如,對n個人兩兩握手共握多少次的問題,在學生學習組合知識以前解法很多,是一個開放題,在學習組合知識之后則是一個封閉題。此外,對一個開放題來說,解決問題的方法的種數和解決問題的思維水平層次是兩個基本的指標。因而,可以引入問題的開放度(OpeningDegree)概念:OD(相對于知識的時機,方法≥x,水平≥y)。上面,“相對于知識的時機”是我們對這個問題的一個注解,說明我們何時用這個問題,可指明是在學生學習了某一知識內容之前,還是學生學習了某一知識內容之后,或者是在某一個學習階段,例如在初中一年級、整個高中階段等;“方法≥x”是對解決問題的方法種數的描述;“水平≥y”是對解決問題的思維水平層次的描述。

在一些討論中常常把開放題與探索題混同起來,可能會對開放題的研究帶來影響,有必要把兩者予以區別。一般地,探索題是指條件完備,結論未給出而需要學生進行探索,猜想并加以證明的問題。當然,開放題集合與探索題集合的交集應該是非空的。

二、教科書中的開放題

教科書是教師組織教學,學生學習的主要依據。教科書中引入開放題,將對教學產生較大影響,并有力地加快在教學中引入開放題的進程。在由我室編寫的《九年義務教育三年制初級中學教科書》《義務教育初中數學實驗課本》《高級中學試驗課本》《全日制普通高級中學教科書(試驗本)》等教科書中,都已編入了一些開放題,但形式比較單一,數量也偏少。我們要在認真研究的基礎上積極而慎重地引入開放題,以促進中學數學開放題教學。怎樣在教科書中引入開放題是一個重要問題,希望大家一起來討論研究。

作者單位:四川省中江縣南華鎮中學