教材例題之“借題發(fā)揮”

王　莉

蘇科版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)§10.1二元一次方程一節(jié)內(nèi)容中有這樣一道例題:

某球員在一場(chǎng)籃球比賽中共得35分(其中罰球得10分),問(wèn)他分別投中了多少個(gè)兩分球?多少個(gè)三分球?

設(shè)他投中了x個(gè)兩分球,y個(gè)三分球,那么

2x+3y=35-10,

即2x+3y=25.

請(qǐng)你設(shè)計(jì)一張表格,列出這名球員投中的兩分球和三分球的各種可能情況,根據(jù)你所列的表格,回答下列問(wèn)題:

(1)這名球員最多投中了多少個(gè)三分球?

(2)這名球員最多投中了多少個(gè)球?

(3)如果這名球員投中了10個(gè)球,那么他投中了幾個(gè)兩分球?幾個(gè)三分球?

本道例題的目的是通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析,引導(dǎo)學(xué)生感受和體會(huì)二元一次方程也是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效的數(shù)學(xué)模型,培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).實(shí)際上,2x+3y=25在這一章節(jié)中稱為二元一次方程,在以后的教學(xué)和學(xué)習(xí)中也是一次函數(shù).因此我認(rèn)為教師在授課時(shí)是可以“借題”發(fā)揮的,這樣既可以豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法,又可以拓寬學(xué)生的解題思路和解題技巧,為學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ).

“借題”發(fā)揮一:不定方程的思想

“二元”即這個(gè)方程中含有兩個(gè)未知數(shù),未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù),不可以像一元一次方程一樣直接解出方程的解.但是如果我們賦予其中一個(gè)未知數(shù)一個(gè)具體的值,即可求出另一個(gè)未知數(shù)的值,這樣的方程有無(wú)數(shù)個(gè)解,亦可稱作不定方程.教師可以指導(dǎo)學(xué)生試著代入數(shù)據(jù)去體會(huì)這樣的方程的解的特征,并且告知學(xué)生一般情況下,解方程的一個(gè)先決條件是未知數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)和方程的個(gè)數(shù)相同.這為以后學(xué)習(xí)二元一次方程組的應(yīng)用打下一個(gè)伏筆,有幾個(gè)未知數(shù)就應(yīng)該找?guī)讉€(gè)等量關(guān)系.

“借題”發(fā)揮二:不定方程的整數(shù)解

這道題又是個(gè)實(shí)際問(wèn)題,對(duì)于未知數(shù)的范圍是有一定限制的,投中的球數(shù)必然是正整數(shù),即x、y都是正整數(shù).教師繼續(xù)指導(dǎo)學(xué)生在得到的數(shù)據(jù)中進(jìn)行篩選,找出這個(gè)問(wèn)題中的解(注意要引導(dǎo)學(xué)生找全).除了上述代入求值的方法外,其實(shí)這樣的方程還可以通過(guò)簡(jiǎn)單的變形,迅速地、準(zhǔn)確地求出未知數(shù)的值.教師應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生將方程變形,由原方程可得:

2x=25-3y.

易知2x是偶數(shù),那么3y一定是奇數(shù),所以y可取1,3,5,7,因此相應(yīng)的x的值等于11,8,5,2.可列表如下:

這里變形的作用是將兩個(gè)未知數(shù)“分離”到等式的兩側(cè),用其中的一個(gè)未知數(shù)去表示另一個(gè)未知數(shù),這樣既可以引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)2x的特征,從而y的值也相應(yīng)地縮小了范圍,減少了機(jī)械的、無(wú)目的的代入過(guò)程,使得整個(gè)解題更具條理性和技巧性,加深學(xué)生的學(xué)習(xí)記憶,提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,更同時(shí)也為下面的代入消元法的講解打下了良好的基礎(chǔ).

“借題”發(fā)揮三:變量思想,函數(shù)思想

列出表格后自然可以看出問(wèn)題的答案,但在此時(shí)教師仍然可以引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn):當(dāng)y在逐漸變大時(shí),x的值如何變化?進(jìn)一步,教師還可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)x、y的值有何自身的變化規(guī)律?在教學(xué)中,學(xué)生會(huì)自主地、輕松地去發(fā)現(xiàn)當(dāng)x的值最大時(shí),y的值是最小的,而當(dāng)x的值最小時(shí),y的值是最大的.x、y值的變化也是有自己特定規(guī)律的,這樣無(wú)疑增強(qiáng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的信心,提高了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的興趣.教師在此可以簡(jiǎn)單地滲透變量和函數(shù)的思想,這對(duì)于學(xué)生進(jìn)一步理解這個(gè)問(wèn)題中的最多和最少是有一定幫助的.

“借題”發(fā)揮四:最值思想

第二小問(wèn)中,最多投中了多少個(gè)球?2x+3y的值是一個(gè)定值,而兩分球的分值比三分球的分值小,因此盡可能讓二分球的個(gè)數(shù)越多投中的個(gè)數(shù)就越多(這在教學(xué)中學(xué)生能自主探索出結(jié)果).這種思想在很多決策題中都有廣泛的應(yīng)用,而且學(xué)生易于掌握.最后可以回到在表格中讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)變量和最值的思想,投中球的總數(shù)與二分球的個(gè)數(shù)有關(guān),x的值越大,投中的球的個(gè)數(shù)也就越多.學(xué)生在經(jīng)歷了計(jì)算、篩選、探索、尋找規(guī)律,最后再次回到表格中這樣的過(guò)程.每一位同學(xué)應(yīng)該都有所學(xué),且有所獲.無(wú)疑這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程輕松愉快,學(xué)生既有自主學(xué)習(xí)探究的過(guò)程,又有獲得成功的喜悅,可以說(shuō)是一舉兩得.

“借題”發(fā)揮五:整體思想

學(xué)生在經(jīng)歷了上述過(guò)程后,教師當(dāng)然不應(yīng)放過(guò)最后升華的階段,最多投中的球數(shù)實(shí)際上求的是(x+y)這個(gè)整體的值.在解決問(wèn)題時(shí),是不是可以將(x+y)看成一個(gè)整體,原方程如果變形為2x+2y=25-y,提取2得:2(x+y)=25-y,要求(x+y)這個(gè)整體的最大值,即只要求出y的最小值.巧妙地將方程變形,把x+y看成一個(gè)整體,這樣的思想方法在教學(xué)中也不妨一提,可以強(qiáng)化學(xué)生解題時(shí)的整體的意識(shí),體會(huì)一題多解的樂(lè)趣.整體思想可以化繁為簡(jiǎn),在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中隨處可見(jiàn).

可能在這里借題發(fā)揮會(huì)沖淡主題,喧賓奪主,可是我個(gè)人認(rèn)為數(shù)學(xué)思想方法是靠教師在平時(shí)的教學(xué)中不斷地引導(dǎo)和滲透,讓學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中不知不覺(jué)地體會(huì)、理解和掌握,這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)有所學(xué),有所獲,更有所樂(lè).所以我認(rèn)為適當(dāng)?shù)?、合時(shí)宜的借題發(fā)揮可以起到錦上添花的作用.

(責(zé)任編輯:黎海英)