試談“一次函數”中的數學思想

張官勝

摘要:用數學知識和數學的思維方法去看待、分析和解決實際生活問題,體現了 “人人學有價值的數學”的課程理念,是當前課程改革的大勢所趨。 解決問題時倡導將各種數學思想方法有機地結合起來理解,相互聯系、相互融合運用。在解決數學問題時,往往需要綜合運用多種數學思想方法才能取得效果。

關鍵詞:函數;方程;數形結合分類討論;整體類比;幾何運動變化;建模

中圖分類號:G633文獻標識碼:A文章編號:1003-2851(2009)10-0059-01

數學思想是數學知識的精髓,它在學習和運用數學知識的過程中,起指導作用。基本知識點是數學課上首先要掌握的,但更重要的是解決問題的思路和方法,思路和 方法的獲取要靠自己一步一步地去體驗和理解,更重要的是解決問題的過程,在過程中探索、獲取思路和方法。每年的中考數學題都著重考查了同學們對數學思想方 法的理解和掌握。因此,同學們在數學學習中,對重要的數學思想方法的學習要加強,而不是消弱。

下面談一談“一次函數”中的數學思想。

一、函數的思想:就是根據題中條件學會用函數方法解決實際問題。“函數”是從量的側面去描述客觀世界的運動變化、相互聯系,從量的側面反映客觀世界的動 態,它們的相互制約性,函數是研究現實世界變化規律的一個重要模型。經歷函數、一次函數等概念的抽象概括過程,體會函數的模型思想和一次函數在我們現實生活的廣泛應用,培養同學們“數學化”的能力。

二、方程思想:就是從分析問題的數量關系入手,適當設出未知數,通過等量關系列出方程或方程組來解決問題的一種數學思想方法。主要是指建立方程(組)解決 實際問題的思想方法。函數思想與方程思想的聯系十分密切。如解方程就是求函數y=f(x)當函數值為零時自變量x的值;用函數圖象的“交軌”方法,可以求 出或討論方程f(x)=g(x)的根或“函數組”化的方程組,等等。這種聯系提供了解決問題過程中轉化的依據。

三、轉化思想:就是根據知識間的內在聯系 ,把所要解決的問題轉化為另一個較易解決的問題或已經解決的問題,恰當地把題目中的某些關系從一種形式轉化為另一種形式,問題就能比較順利地得到解決,這 就是轉化思想。領悟了轉化思想,能夠幫助同學們打開思路,把一個較復雜或陌生的問題轉化成較簡單或熟悉的問題。 例如,一次函數的圖、表、式三種表示方法之間的相互轉化,通過方程與函數的聯系解決問題,求兩條直線交點的問題轉化為解二元一次方程組的解。使學生學會以 特殊情況為基礎,通過轉化來解決一般問題的方法,培養學生把文字語言轉化為數學符號的能力。

四、數形結合思想:就是把問題中的數量關系和空間形式結合起來加以考查的思想,簡單地說,就是將數與形結合起來解題的一種方法,在數學中占有非常重要的地 位。在解題方法上,把“數”與“形”相互轉化,從而使問題化難為易、化繁為簡,做到靈活進行數形轉化,達到解決問題的目的。在生活中量與量的關系可以形象 地通過圖象直觀地表現出來,如心電圖、股市行情走勢圖等,圖象中含有著豐富的圖象信息,要善于從圖象的形狀、位置發展變化趨勢等有關信息中獲取啟發。教學 中根據函數的圖象確定一次函數的表達式,由函數圖象獲取信息,由y=kx+b中k、b的值,可畫函數的圖象;由函數圖象,能判斷k、b的取值范圍;以及y 隨x的變化而變化的情況。讓學生把一次函數的性質熟練運用,進一步體現數形結合思想。

五、分類討論思想:當研究的問題包含多種可能情況時,必須按所有可能出現的情況來分別討論,從而得到各種情況下相應的結論,這種處理問題的思想稱為分類討 論思想。它既是一種數學思想,又是一種重要的解題策略。并且需分類討論的問題覆蓋的知識點較多,還要注意分類的方法和技巧,做到明確分類標準,即“不重 復,不遺漏”。如一次函數圖象經過哪些象限需要針對k、b的取值范圍分情況討論;理解某函數的折線圖象時需分段考慮;實際應用題中涉及多種情況時也需要分 類。

六、整體思想:就是將注意力和著眼點放在問題的整體上,或把一些相互聯系的量作為整體來處理的思想。不僅能避免復雜的計算,而且能達到解決問題的目的。如 “y-a 與2x+b成正比例”,那么,可以設y-a=k(2x+b),則y=2kx+2b+a,…

七、類比思想:即所謂的“類比發現法”,就是通過對兩個相類似的數學研究對象的異同進行觀察和比較,從一個已經學過的、熟知的研究對象所具有的性質,去猜 想另一個研究對象所具有的類似的性質。同學們可由題目結構相同或類似,類比可得題目間解題的方法可能相同或類似,以此嘗試確定解題的思路。

八、幾何運動變化思想:適用于常以動態的形式出現的圖形變換題。將一個圖形或某部分進行平移、旋轉、軸對稱或中心對稱變換后,得到新的圖形,從中探求結 論。不僅要求學生會根據已知條件作出變換后的圖形,還要求學生能根據原圖形與變換后的圖形的位置關系說明具體的變換過程。“一次函數”中主要是了解圖象 (直線)的平移。

九、建模思想:從實際問題抽象出數學模型,再利用數學知識解決它,這種思想叫做數學建模思想。是一種常見的解決實際問題的思想,其實質是從實際問題中提取 出關鍵性的基本量,再將其轉化為數學問題來進行推理、計算、論證等,最后得出結論。

總之,在課堂上,在老師的引導下,學生投入到解題的整個過程中去,要通過親自動手、親自探究,在解題探究的整個過程中,自然而然地掌握了思路、方法,這樣 獲取的思路和方法才是學生自己的。從教學效果看,在“一次函數”的教學中滲透和運用這些數學思想方法,能增強學習的趣味性,激發學生的學習興趣和學習的主 動性;能啟迪思維,發展學生的數學智能,有利于學生形成牢固、完善的認知結構。這樣無疑有助于學生數學素養的全面提升,無疑有助于學生的終身學習和發展。