基于馬爾可夫鏈的VSI單側(cè)均值控制圖的平均信號時(shí)間

一、引言

1924年，美國的休哈特(shewhart)博士提出了統(tǒng)計(jì)過程控制的思想和技術(shù)。常規(guī)的控制圖技術(shù)是統(tǒng)計(jì)過程控制的重要方法之一，主要作用是對生產(chǎn)過程進(jìn)行監(jiān)控，判斷過程是否受控。均值控制圖是應(yīng)用最廣泛的控制圖之一。傳統(tǒng)控制圖都是靜態(tài)的，其抽樣區(qū)間固定不變，這種靜態(tài)控制圖通常不能及時(shí)發(fā)現(xiàn)過程異常。為了彌補(bǔ)這一缺陷，Reynold等提出可變抽樣區(qū)間均值控制圖優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。可變抽樣區(qū)間(VSI)均值控制圖與固定抽樣區(qū)間(FSI)均值控制圖相比，更為合理。一方面，如果樣本點(diǎn)接近控制限，那么其后的樣本點(diǎn)有較大可能超出控制限，這時(shí)為了及時(shí)發(fā)現(xiàn)過程的變化，應(yīng)提早抽取下一個(gè)樣本;另一方面，如果樣本點(diǎn)靠近目標(biāo)值，可認(rèn)為此時(shí)過程比較穩(wěn)定，則等待較長時(shí)間抽取下一個(gè)樣本點(diǎn)。平均鏈長(ARL)可以用來衡量FSI控制圖的效率，但在VSI中，發(fā)信號前的平均時(shí)間更為重要。張維銘(1999)研究了可變抽樣區(qū)間的均值-方差控制圖的平均鏈長，并與固定抽樣區(qū)間控制圖做了比較。張維銘(2002)在文的基礎(chǔ)上對可變抽樣區(qū)間單邊標(biāo)準(zhǔn)差圖、極差圖、不合格品數(shù)圖作了研究，計(jì)算了這三個(gè)圖發(fā)信號的平均時(shí)間，并同固定抽樣區(qū)間的控制圖作了比較。所設(shè)計(jì)的控制圖能夠縮短過程時(shí)空時(shí)間從而減少不合格品數(shù)。解順強(qiáng)[4]同樣對單側(cè)均值控制圖的平均鏈長作了研究和比較。總的看來，國內(nèi)外主要研究了可變抽樣的平均鏈長，以此作為衡量控制圖效率的標(biāo)準(zhǔn)，但對于可變抽樣控制圖來說，因?yàn)槌闃宇l率不固定，發(fā)信號的時(shí)間不是發(fā)信號的樣本數(shù)的常數(shù)倍，因此用平均鏈長來評價(jià)此類控制圖不能完全刻畫出控制圖的優(yōu)劣，需要用發(fā)信號的平均時(shí)間來描述。本文利用馬爾可夫鏈理論結(jié)合矩陣知識推導(dǎo)出ARL，進(jìn)一步給出發(fā)信號前的平均時(shí)間，用來更為準(zhǔn)確地衡量控制圖的效率。

二、VSI單側(cè)均值控制圖的描述

為方便起見，本文僅對單側(cè)上限情況進(jìn)行討論，單側(cè)下限情況可以類似推出。設(shè)質(zhì)量特性X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)。當(dāng)過程處于受控狀態(tài)時(shí)，μ=μ0，σ=σ0。當(dāng)過程發(fā)生異常時(shí)，μ=μ1，σ=σ1。在上限(UCL)和中心線(CL)之間加一條警戒上限(UWL)，將受控區(qū)域分成兩個(gè)部分。設(shè)VSI單側(cè)均值控制圖中 ，，，其中0≤B1≤B2。

為了便于表述，將統(tǒng)計(jì)量描述在控制圖上，其中表示樣本均值，則V圖的警戒限和上限分別為B1和B2。將區(qū)域(-∞，B2)劃分為兩個(gè)區(qū)域，即I1=(-∞，B1)，I2=[B1，B2]。使用兩個(gè)區(qū)間長度h1和h2，其中H1>H2。每次抽取的樣本容量不變，用Vi-1表示取自V的第i-1個(gè)樣本。若Vi-1位于I1內(nèi)，則等待較長時(shí)間h1抽取第二個(gè)樣本;若Vi-1位于I2內(nèi)，則等待較短時(shí)間h2抽取第二個(gè)樣本，及時(shí)采取措施消除異常原因。

VSI單側(cè)均值控制圖由兩條水平線(上限和警戒限)將控制圖分成三個(gè)區(qū)域:目標(biāo)區(qū)域T，警戒區(qū)域W+，失控區(qū)域A+。實(shí)際運(yùn)行中，若有點(diǎn)落在A+，則表示生產(chǎn)過程失控，需要立即停止檢修。若有k個(gè)連續(xù)點(diǎn)落在W+，也表示生產(chǎn)過程失控，設(shè)該狀態(tài)為A’+，此時(shí)同樣應(yīng)對過程檢修。

三、VSI單側(cè)均值控制圖的平均鏈長

VSI單側(cè)均值控制圖的鏈長是指圖形發(fā)信號前抽取的樣本數(shù)，平均鏈長(ARL)是圖形發(fā)信號之前抽取的樣本數(shù)的期望。

1.k=2時(shí)的ARL

記，其中是X的樣本均值，且。定義:

狀態(tài)1:;狀態(tài)2:;狀態(tài)3:連續(xù)兩次，即;狀態(tài)4:。

其中，狀態(tài)3和狀態(tài)4為吸收態(tài)。顯而易見，將來的狀態(tài)僅依賴于前一狀態(tài)所處的位置，而與之前的狀態(tài)無關(guān)，所以它是馬爾可夫鏈。一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為:四、 VSI單側(cè)均值控制圖的平均時(shí)間

在使用FSI時(shí)，時(shí)間區(qū)間長度乘以發(fā)信號前的樣本數(shù)就是發(fā)信號的時(shí)間，控制圖的平均時(shí)間就是時(shí)間區(qū)間長度乘以發(fā)信號前的期望樣本數(shù)(ARL)。對于VSI圖，因?yàn)槌闃宇l率不固定，依賴于μ或σ的值，發(fā)信號的時(shí)間不是發(fā)信號的樣本數(shù)的常數(shù)倍，因此用平均鏈長來評價(jià)此類控制圖不能完全刻畫出控制圖的優(yōu)劣，需要用發(fā)信號的平均時(shí)間來描述。

發(fā)信號的時(shí)間T為過程從時(shí)間0開始一直到圖形發(fā)信號的時(shí)間。發(fā)信號的平均時(shí)間E(T)是發(fā)信號時(shí)間T的期望，是參數(shù)μ的函數(shù)。當(dāng)μ=μ0時(shí)，E(T)應(yīng)該很大，使得誤警報(bào)率很小;當(dāng)μ=μ1時(shí)，E(T)應(yīng)該很小，使得過程異常能及時(shí)發(fā)現(xiàn)。設(shè)N為發(fā)信號前的樣本數(shù)，由式(1)知(2)

設(shè)T*為發(fā)信號的時(shí)間，hi為抽取第i個(gè)樣本前的抽樣區(qū)間，則(3)

要將VSI圖同F(xiàn)SI圖作比較，為保證兩圖的誤警報(bào)率相等，必須使兩圖在μ=μ0時(shí)平均抽樣區(qū)間等于固定的抽樣區(qū)間h0。如果使這兩圖的控制限一致，當(dāng)過程平均值為目標(biāo)值時(shí)，VSI單側(cè)均值控制圖必須滿足:

h0。

為了方便，用 表示 。由條件期望公式，可得(4)

若過程平均值為常數(shù)，則h1，h2，…，獨(dú)立同分布。由瓦爾德恒等式，得E(T*)=E(N)·E(hi)設(shè)p=P(W∈I1)，q=P(W∈I2)那么，所以平均時(shí)間為(5)

顯然，p和q依賴于μ值。

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