例證小學數學中零分數的分類

在一次小學數學公開課的評課中，有人提出:“零分數是分數嗎?如果是，該如何分類呢?”這個問題引起了所有在場教師的爭論。后來我查閱了一些相關資料，請教了一些權威人士，結合多年的教學經驗，我認為:零分數是分數，它不屬于真分數也不屬于假分數，是一種特殊的分數。下面我就以0/9為例來說明。

一、“0/9”是不是分數?

上海教育出版社出版的《小學數學教師手冊》第86頁，關于“分數的基本概念”是這樣說的:“把單位‘1’平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數，叫做分數。如果把單位‘1’平均分成n份，表示這樣一份的數記作1/n，讀作n分之一;表示這樣m份的數記作m/n，讀作n分之m，其中m叫做分子，n叫做分母，中間的橫線叫做分數線。1/n叫做m/n的分數單位。”

根據上述分數定義，在m/n中，n≠0，n≠1，m≠0。對于n=1和m=0，有如下的補充規定:當n=1時，m/n=m/1=m;當m=0時，m/n=0/n=0。

這樣任何整數m都可以用分數m/1表示了。這也就是說:整數可以看成是特殊的分數，分母是1的分數和分子是0分數，是一種特殊的分數，它與課本上所定義的分數(把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數)是不一樣的。這兩類特殊的分數是不能用課本上所說的分數的意義去解釋的，它是靠分數的補充定義來說明的。有些教師認為0/9不是分數，是因為他們不了解分數的補充定義。再者，根據分數與除法的關系也可以說明0/9是分數。小學《數學》第十冊第91頁說:“分數與除法的關系可以表示成下面的形式:被除數÷除數=被除數/除數。在整數除法中，除數不能是0。在分數中分母也不能是0。用a表示被除數，b表示除數，就是a÷b=a/b(b≠0)。”由此我們不難看出:在整數除法中，被除數可以為0，這時表示成分數就是分子是0的分數，例如:0÷9=0/9，所以0/9是分數。

二、“0/9”是什么分數?

上海教育出版社出版的《小學數學教師手冊》第90頁說:“在分數的原始定義中，沒有包含分子為0的情況，但根據分數與除法的關系，可類推出0÷a=0/a(a≠0)，所以補充規定:0/a=0(a≠0)，并稱之為零分數。在小學階段，對零分數一般不作專門介紹，它在分數減法運算中自然出現。”由此我們可以知道:分子是0的分數(比如0/9)是一種特殊的分數，它們叫作零分數，這種分數一般不獨立出現，多出現在分數減法計算的過程中。

人民教育出版社小學數學室編著、九年義務教育六年制小學數學《教師教學用書》(以下均指該版本)第十冊第113頁說:“在人類歷史上，最初產生的分數是作為整體或一個單位的一部分而用分數表示，這樣的分數叫做真分數。”可是，0/9它不是一個整體或一個單位的一部分，它只是在分數的補充定義中出現的零分數，所以0/9不是真分數。小學《數學》第十冊學完“真分數”和“假分數”的概念后，在第99頁出現了“做一做”:1.下面的分數哪些是真分數，哪些是假分數?1/3、3/3、5/3、1/6、6/6、9/6、13/62。把上一題中的分數用直線上的點表示出來，看一看表示真分數的點和表示假分數的點，分別在直線的哪一段上。針對上面的“做一做”，小學數學《教師教學用書》第十冊在第113頁說:“真分數集中分布在0和1之間的線段上，假分數分布在直線上1或1的右邊。”由此我們可以知道:真分數只是集中分布在0和1之間的線段上，它大于0而小于1，分布在直線0上的分數不是真分數，所以說0/9不是真分數。小學《數學》第十冊第98頁對假分數的定義為:“分子比分母大或者分子和分母相等的分數，叫做假分數。假分數大于1或等于1。”很顯然，0/9也不是假分數。通過上面的分析，我們可以知道，0/9不是真分數，也不是假分數，它是一種特殊的分數，是零分數。

三、“0/9”屬于分數中的哪一類?

小學數學《教師教學用書》第十冊在第113頁說:“分數可以分成真分數、假分數兩類。”在141頁說:復習真分數、假分數的概念時，可以通過提問使學生進一步明確分數的分類以及分數與整數的關系。可以歸納為:分數真分數假分數，通過上面的說明可以清楚地看出分數的分類情況，可是我們看不出0/9該屬于分數的哪一類。

在人類歷史上，最初產生的分數是真分數，接著又產生了假分數。假分數產生后，分數就有了系統的分類。而零分數是在分數減法的過程中出現的，是通過分數的補充定義解釋的，這樣，為了不干擾分數分類的明確化，零分數就只有作為特殊分數，不參與分數的分類了。所以，0/9不參與分數的分類。

通過以上種種分析，我們可得出結論:在小學階段中，零分數是分數，但不屬于真分數也不屬于假分數，是一種特殊的分數。它不參加分數的分類，而是靠分數的補充定義來說明。