動(dòng)手操作題探究

隨著初中數(shù)學(xué)改革的不斷深化，《新課標(biāo)》注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與應(yīng)用過程;突出了它的實(shí)踐性，加強(qiáng)了讓學(xué)生在具體的操作情境中去領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的發(fā)展與形成。動(dòng)手操作題是指讓學(xué)生通過比較簡(jiǎn)單的動(dòng)手操作，結(jié)合實(shí)際的數(shù)學(xué)情境，經(jīng)歷操作、觀察、比較、概括、歸納總結(jié)等多種形式的活動(dòng)，利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行探究猜想、推理論證，從而使問題得到解答。

例1: AD是△ABC的中線，

∠ADC=60°，把△ADC沿直線

AD折過來，點(diǎn)C落在C′的位

置，如果BC=4，那么BC′=_____。

解析:在折紙過程中，體會(huì)所折線段之間的關(guān)系，感受數(shù)學(xué)知識(shí)的正確運(yùn)用，從中領(lǐng)悟?qū)嶋H問題與數(shù)學(xué)技能的有機(jī)結(jié)合，知道△BDC′為等邊三角形，即BC′=BD=DC′=2。

例2:四邊形ABCD是正方形，M是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn);直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)D，

且直角頂點(diǎn)E在AB邊上滑動(dòng)，

(點(diǎn)E不與A，B重合)，另一條

直角邊與∠CBF的平分線BF

相交于點(diǎn)F。

(1) 如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊中點(diǎn)位置時(shí):

① 通過測(cè)量DE，EF的長(zhǎng)度，猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系。

② 連接點(diǎn)E與邊AD的中點(diǎn)N，猜想NE與BF滿足的數(shù)量關(guān)系。

③ 證明你上述兩個(gè)猜想。

解析:(1)①通過學(xué)生親自測(cè)量，容易得到DE=EF。

②在上一問的基礎(chǔ)上，也很容易得到NE=BF。

③∵點(diǎn)N，E分別為AD，AB的中點(diǎn)，∴DN=EB。

∵BF平分∠CBM，AN=AE，∵∠DNE=∠EBF=90°+45°= 135°∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF ∴△DNE≌△EBF ∴DE=EF，NE=BF 。

如圖4，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上任意位置時(shí)，請(qǐng)你在AD邊上找到一點(diǎn)N，使得NE=BF，進(jìn)而猜想此時(shí)DE與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系。

解:在DA邊上截取DN=EB，連接NE，點(diǎn)N就使得NE=BF成立。此時(shí)，DE=EF。

例3:操作示例:對(duì)于邊長(zhǎng)為a的兩個(gè)正方形，ABCD和EFGH，按圖5所示的方式擺放，

再沿虛線BD，EG剪開后，可以

按圖中所示的移動(dòng)方式拼接為

圖5中的四邊形BNED，從拼接

的過程容易得到結(jié)論:

(1) 四邊形BNED是正方形。

(2) S正方形ABCD+S正方形EFGH=S正方形BNED。

實(shí)踐與探究:

(1) 對(duì)于邊長(zhǎng)分別為a，b(a>b)兩個(gè)正方形ABCD和EFGH，按圖6所示的方式擺放，過點(diǎn)D作DM⊥DE，交AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥DM，過點(diǎn)E作EN⊥DE，MN與EN相交于點(diǎn)N:

①證明四邊形MNED是正方形，并用含a，b代數(shù)式表示正方形MNED的面積。

② 在圖6中，將正方形ABCD和EFGH沿虛線剪開后，能夠拼接為正方形MNED，請(qǐng)簡(jiǎn)略說明你的拼接方法(類比圖5，用數(shù)字表示對(duì)應(yīng)的圖形)。

(2) 對(duì)于n (n是大于2的自然數(shù))個(gè)任意的正方形，能否通過干次的拼接，將其拼接為一個(gè)正方形?請(qǐng)簡(jiǎn)要說明你的理由。

解析:(1)①證明:由作圖過程知四邊形MNED是矩形。

在直角△ADM與直角△CDE中，

∵AD=CD，∠ADM+∠MDC=∠CDE+∠MDC=90°，

∠ADM=∠CDE， ∴Rt△ADM≌Rt△CDE。

∴DM=DE，∴四邊形MNED是正方形。

∵DE2=CD2+CE2=a2+b2

∴ 正方形MNED的面積為a2+b2。

②過點(diǎn)N作NP⊥BE，垂足為P，如圖7所示。

可以證明圖中6與5位置的兩個(gè)直角三角形全等，4于3位置的兩個(gè)直角三角形全等，2與1位置的兩

個(gè)直角三角形全等。所以將6放到5的位

置，4放到3的位置，2放到1的位置，恰好

拼接為正方形MNED。

(3)答:能。

理由是:從上述的拼接過程可以看出:對(duì)于任意的兩個(gè)正方形都可以拼接為一個(gè)正方形，而拼接出的這個(gè)正方形可以與第三個(gè)正方形再拼接為一個(gè)正方形……依此類推。于是得到:對(duì)于n個(gè)任意的正方形，可以通過(n-1)次拼接，得到一個(gè)正方形。

評(píng)析:本題不僅考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，也考查動(dòng)手拼圖、作圖的能力。圖形能直觀形象地說明問題，體現(xiàn)了圖形之間的內(nèi)在轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)了學(xué)生實(shí)踐能力。

通過以上幾題說明，動(dòng)手操作題思維空間較大，題型多樣，題目背景各異;既能讓學(xué)生親自參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，參與探究，又能充分地培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐能力和邏輯推理能力。

(唐山市豐南區(qū)豐南鎮(zhèn)成人學(xué)校)