概念也是訓(xùn)練思維的好材料

方差是八年級(jí)下冊(cè)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的一個(gè)重要概念，筆者在兩個(gè)班的教學(xué)中作了不同的嘗試和比較，覺(jué)得學(xué)生學(xué)習(xí)方差這個(gè)概念之后，不僅知道用它來(lái)描述數(shù)據(jù)的波動(dòng)性，還能讓思維得到很好的鍛煉。

一、重難點(diǎn)的確定

本課有三個(gè)主要目標(biāo):(1)理解方差的概念;(2)會(huì)進(jìn)行方差的計(jì)算(本課先會(huì)手算，下節(jié)課再學(xué)用計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算);(3)會(huì)用方差描述數(shù)據(jù)的波動(dòng)性。本課的重點(diǎn)是理解方差的概念，同時(shí)也是難點(diǎn)。之所以難，第一，其計(jì)算公式比加權(quán)平均數(shù)和中位數(shù)復(fù)雜，難以記憶;第二，“為什么要這么算”也是學(xué)生不易理解的地方，正是理解的困難造成記憶的困難、計(jì)算和應(yīng)用的困難。所以，備課時(shí)我著重在想怎樣讓學(xué)生充分感受和理解“方差”這個(gè)概念產(chǎn)生的必要性和其算法的合理性。從教學(xué)實(shí)際情況看，重難點(diǎn)是準(zhǔn)確的。

二、在概念形成過(guò)程中訓(xùn)練思維

新概念的形成，一般要讓學(xué)生理解概念形成的背景(知識(shí)基礎(chǔ)、必要性、合理性)，否則學(xué)生死記硬背，知其然，不知其所以然，不僅思維得不到鍛煉，而且造成記憶的困難。在“方差”的教學(xué)之前，必須打好兩個(gè)概念基礎(chǔ):“數(shù)據(jù)的波動(dòng)性”和“極差”。

1.數(shù)據(jù)的波動(dòng)性

情境引入:兩位射擊選手在相同條件下射擊10次，成績(jī)?nèi)缦?

甲:7、8、6、8、6、5、9、10、7、4，

乙:9、5、7、8、7、6、8、6、7、7。

(1)求甲、乙兩人射擊環(huán)數(shù)的平均數(shù);

(2)應(yīng)該選誰(shuí)參加比賽?說(shuō)明理由。

實(shí)際教學(xué)中我這樣提出問(wèn)題:“兩人的平均成績(jī)相同，難以取舍。我們?cè)賮?lái)看他們的成績(jī)各有什么特點(diǎn)?”

學(xué)生沉默。

師:能不能說(shuō)甲比乙準(zhǔn)?因?yàn)榧子袀€(gè)10環(huán)，乙沒(méi)有?

生:甲有10環(huán)，但也有一個(gè)4環(huán)。

師:乙呢?

生:乙沒(méi)有10環(huán)，但也沒(méi)有特別低的。

師:好，為了看清楚二人的成績(jī)特點(diǎn)，我們把它們畫(huà)出來(lái)。(老師在黑板上示范，畫(huà)出散點(diǎn)圖，然后觀察。)

師:可見(jiàn)，代表二人成績(jī)的點(diǎn)都在一條水平線上下，但乙的更集中，而甲的更分散;用一個(gè)更形象的詞語(yǔ)，以平均數(shù)為中心，甲的起伏更大，乙的起伏要小些。(學(xué)生點(diǎn)頭)

師:它們的這個(gè)不同，用什么來(lái)描述呢?(明確概念產(chǎn)生的必要性)

師:數(shù)據(jù)的這個(gè)特征，我們稱為“數(shù)據(jù)的波動(dòng)”。簡(jiǎn)要地說(shuō)，二人平均成績(jī)一樣，但甲的波動(dòng)更大，乙的波動(dòng)較小。

這里通過(guò)提問(wèn)“各自的特點(diǎn)”和散點(diǎn)圖，讓學(xué)生既準(zhǔn)確又形象地理解了“波動(dòng)性”的概念。

2.極差

這個(gè)概念學(xué)生理解不困難，學(xué)習(xí)時(shí)注意讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到極差的局限性:它只涉及兩個(gè)數(shù)據(jù)，不能全面反映整組數(shù)據(jù)的情況。

3.方差

我用以下問(wèn)題串，引導(dǎo)學(xué)生逐步建立方差的概念。

(1)極差可以反映數(shù)據(jù)的波動(dòng)性，但極差有很大的局限性:不夠全面。那有沒(méi)有一個(gè)量，能夠全面反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)性呢?(這個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生獨(dú)立解決是不現(xiàn)實(shí)的，但可以讓學(xué)生當(dāng)堂思考幾分鐘，然后老師引導(dǎo)。)

(2)數(shù)據(jù)在平均數(shù)上下波動(dòng)，距離平均數(shù)越遠(yuǎn)，波動(dòng)越大;

所以可以用 來(lái)表示數(shù)據(jù)的波動(dòng)，我們把 稱為這

個(gè)數(shù)據(jù)的“離差”;

(3)要考慮第一個(gè)數(shù)據(jù)的波動(dòng)，可以把每個(gè)離差 都相加，但相加的結(jié)果如何呢?(讓學(xué)生嘗試，發(fā)現(xiàn)正負(fù)相抵)

(4)如何避免正負(fù)相抵呢?把每個(gè)偏差 都加上絕對(duì)值符號(hào)，再相加;

(5)為了排除樣本容量的影響，以便于同容量的數(shù)據(jù)進(jìn)行

比較，應(yīng)該求它的平均，得到平均差 ，

例如，甲的平均差為 。(老

師在黑板上演示)

(6)因?yàn)樵诶碚撚?jì)算中，絕對(duì)值往往需要討論，比較麻煩，所以一般不用絕對(duì)值。但又要保證非負(fù)，怎么辦呢?

這個(gè)問(wèn)題學(xué)生也不易想到，老師進(jìn)一步啟發(fā):我們學(xué)過(guò)哪些非負(fù)數(shù)形式?選擇哪一種方式恰當(dāng)?

(7)把絕對(duì)值換為平方: ，

就得到了一個(gè)既反映數(shù)據(jù)波動(dòng)，又比較易于計(jì)算的概念，因?yàn)樗逊从趁總€(gè)數(shù)據(jù)波動(dòng)性的偏差進(jìn)行了平方，我們就稱之為“方差”。

(8)示范:例如這個(gè)問(wèn)題中，甲組數(shù)據(jù)的方差就是:

這里方差概念的形成，學(xué)生往往不是聽(tīng)一遍就能明白的，可能有同學(xué)會(huì)反復(fù)地問(wèn):“為什么要這么算?”這時(shí)，可以重復(fù)講解，也可以反問(wèn):“那怎樣算才合理呢?”學(xué)生認(rèn)真想過(guò)后就會(huì)明白。

(9)熟悉公式:馬上讓同學(xué)計(jì)算乙的方差，熟悉公式。這時(shí)候，簡(jiǎn)單數(shù)字的效果顯現(xiàn)出來(lái)了，學(xué)生發(fā)現(xiàn):方差也不難啊，起碼計(jì)算比較容易，口算都可以。

(10)應(yīng)用鞏固:……

從實(shí)際效果來(lái)看，這樣處理后，學(xué)生對(duì)方差的掌握情況比較令人滿意。

三、三維目標(biāo)如何落實(shí)?

新課改理念下，課堂教學(xué)除了傳統(tǒng)的知識(shí)與技能目標(biāo)之外，還有過(guò)程與方法目標(biāo)、情感、態(tài)度和價(jià)值觀目標(biāo)。三維目標(biāo)，特別是后兩者如何落實(shí)?

我認(rèn)為，這個(gè)問(wèn)題不可一概而論，因?yàn)殡m然每節(jié)課都有三維目標(biāo)，但每節(jié)課的目標(biāo)側(cè)重點(diǎn)會(huì)因教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生情況而有所不同。對(duì)數(shù)學(xué)課來(lái)說(shuō)，知識(shí)與技能是基礎(chǔ)，思維能力的培養(yǎng)是核心，方法、情感、態(tài)度和價(jià)值觀以及目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)都要依賴思維水平的發(fā)展，因?yàn)楸仨氂芯实倪^(guò)程，才可能有正確的情感、態(tài)度和價(jià)值觀的形成。所以數(shù)學(xué)課必須在教學(xué)中揭示概念、定理、命題、公式、解法的形成、探索過(guò)程，而不是讓學(xué)生僅僅通過(guò)模仿、重復(fù)訓(xùn)練達(dá)到會(huì)算即可，甚至死記硬背。

本課有三個(gè)概念，對(duì)每個(gè)概念，都通過(guò)情景展示概念產(chǎn)生的背景(必要性)，但根據(jù)概念特點(diǎn)，處理方式又有不同:數(shù)據(jù)的“波動(dòng)性”重在理解和形象感受，通過(guò)散點(diǎn)圖和比喻讓學(xué)生理解;“極差”比較簡(jiǎn)單，則直接說(shuō)明;最難的“方差”，則通過(guò)步步深入的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)確定方差公式的困難，讓學(xué)生參與選擇，最終理解方差公式的合理性。這樣，學(xué)生不僅會(huì)算，還知道為什么這樣算，還知道除了方差，還有其他選擇，更重要的但也是最不明顯的，在選擇方差公式的過(guò)程中，體會(huì)了數(shù)學(xué)的合理性、嚴(yán)謹(jǐn)性，學(xué)習(xí)了面臨困難和選擇時(shí)的處理方法。所以說(shuō)，概念也是訓(xùn)練思維的好材料。