教學(xué)中通過問題解決 培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維

摘 要:本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勗跀?shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的重要性以及如何在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中通過培養(yǎng)學(xué)生問題解決的能力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)思維;問題解決;數(shù)學(xué)教學(xué);培養(yǎng)

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)學(xué)生能力的核心乃是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的思維能力。數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)質(zhì)上是思維活動(dòng)的教學(xué)。教學(xué)中所研究的思維，一般包括發(fā)現(xiàn)新事物，揭示新規(guī)律，新方法，解決新問題等思維過程。比如獨(dú)立地掌握數(shù)學(xué)知識(shí);對(duì)數(shù)學(xué)問題的系統(tǒng)闡述;對(duì)已知定理或公式的“重新發(fā)現(xiàn)”或“獨(dú)立證明”;提出有一定價(jià)值的新見解等，均可視如學(xué)生的思維成果。美國數(shù)學(xué)教育家提出必須把問題解決作為中學(xué)數(shù)學(xué)的核心，指出中學(xué)數(shù)學(xué)教育改革焦點(diǎn)是培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。對(duì)于學(xué)生的思維能力，個(gè)別的學(xué)生固然有先天的因素，但大量的而且主要的是非智力的因素，關(guān)鍵在于后天的培養(yǎng)與訓(xùn)練。學(xué)生思維水平是要通過數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)去培養(yǎng)和發(fā)展的。本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勗跀?shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的重要性以及如何在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生問題解決的能力，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

一、設(shè)計(jì)問題情境，培養(yǎng)問題意識(shí)

問題情境教學(xué)，就是在情境中隱埋問題，呈現(xiàn)給學(xué)生刺激性數(shù)學(xué)信息，引起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，啟迪思維，激起學(xué)生的好奇心、發(fā)現(xiàn)欲。產(chǎn)生認(rèn)知沖突，誘發(fā)質(zhì)疑猜想，喚起強(qiáng)烈的問題意識(shí)。從而使其發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題，分析和探討數(shù)學(xué)問題，直到運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)問題源于人類的生產(chǎn)生活，從古代的結(jié)繩記事到現(xiàn)代的高科技，社會(huì)的發(fā)展總是伴隨著數(shù)學(xué)問題的產(chǎn)生與發(fā)展。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，教師設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)問題，要切實(shí)讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)就在身邊，是“有用”的。教師需要設(shè)置合理的情境，讓學(xué)生產(chǎn)生一種內(nèi)在的困惑和需求，從而讓學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題、提出問題。在“問題解決”的教學(xué)模式中，一方面教師要留給學(xué)生自由提出問題的時(shí)間和空間，另一方面，要鼓勵(lì)學(xué)生用批判的眼光去觀察問題，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)。

二、以簡馭繁，培養(yǎng)思維的深刻性

我國的數(shù)學(xué)教育較之于外國的優(yōu)點(diǎn)是重視基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)，基本技能的訓(xùn)練，數(shù)學(xué)計(jì)算、推理和空間想象能力的培養(yǎng)，這些是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維和應(yīng)用能力所必須的。在數(shù)學(xué)的知識(shí)鏈和問題鏈中由簡而生繁，遇繁而思簡是一條重要的思維守則。很多繁瑣的問題往往可以通過將其化簡或換種思維來解決。在教學(xué)過程中，教師可適當(dāng)設(shè)計(jì)這類問題，通過用基礎(chǔ)知識(shí)來解決較為繁瑣的問題從而達(dá)到知識(shí)的鞏固與深化，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。

例 已知關(guān)于x的方程:ax2+2(2a-1)x+4a-7=0(a∈N)問a為何值時(shí)，方程至少有一個(gè)整數(shù)根?

分析:所給方程是一個(gè)含參數(shù)a的二次方程，如果用求根公式解出x，再由a的值來討論根的情況運(yùn)算就較為復(fù)雜。但若注意到a的最高次數(shù)僅為一次所以可把原方程看成關(guān)于a的方程，由此再討論整數(shù)根x的存在就較為簡單。此時(shí)只需考慮a=(2x+7)/(x+2)2(x≠-2)及2x+7≥(x+2)2(x∈Z)即可確定符合條件的a值。

三、多向探求，培養(yǎng)思維的靈活性

教師在教學(xué)過程中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生多向探求的思想，可通過設(shè)置和解決一題多解問題來培養(yǎng)思維的靈活。一題多解，即對(duì)同一個(gè)題目能從不同角度加以思考，探求出不同的解決方案。一題多解不僅可以通過大量的問題去溝通各部分知識(shí)間的聯(lián)系，拓寬解題思路，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生探求的精神和對(duì)數(shù)學(xué)研究的興趣。這正是數(shù)學(xué)教學(xué)更高層次的目標(biāo)追求，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維靈活性的獨(dú)特的訓(xùn)練方法。

例1 已知:二次函數(shù)f(x)滿足f()=+，求f(x)的表達(dá)式。

解法1:用換元法

令t=，則x=，=t-1。

∴f(t)=+(t-1)=1+(t-1)2=t2-t+1

∴f(x)=x2-x+1

解法2:

f()=+=2-+=2-

=2-+1

∴f(x)=x2-x+1.

“一題多解”問題，有利于學(xué)生經(jīng)常性的保持一種意識(shí):注重從不同層面去思考問題，這是形成發(fā)散思維習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性，使學(xué)生思維能力更具廣闊性的重要手段。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)注重挖掘其內(nèi)涵和外延，設(shè)計(jì)好例題和習(xí)題，讓知識(shí)縱橫聯(lián)系，融會(huì)貫通，教會(huì)學(xué)生善于觀察，仔細(xì)揣摩，通過命題的轉(zhuǎn)化，最終解決問題。轉(zhuǎn)化問題的方法很多，如一般問題特殊化，集合問題代數(shù)化，換元法，等等。

四、自主探究，培養(yǎng)思維的創(chuàng)新性

愛因斯坦指出:“提出一個(gè)問題，往往比解決一個(gè)問題更重要。”這就是說，所謂科學(xué)研究的能力，也就是使自己能提出問題并由自己去解決的能力，也就是科學(xué)創(chuàng)造的能力。培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力，首先是要讓學(xué)生具有積極探索的態(tài)度，猜想、發(fā)現(xiàn)的欲望。培養(yǎng)這樣的態(tài)度和欲望，必須從解決問題開始。“學(xué)起于思，思源于疑”。因此教者在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，應(yīng)主動(dòng)地、有目的、有計(jì)劃地圍繞教材內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)、模糊點(diǎn)、新舊知識(shí)的連接點(diǎn)上進(jìn)行設(shè)疑，激疑，讓學(xué)生學(xué)會(huì)并形成問題解決的思維方法。在教學(xué)過程中，誘導(dǎo)學(xué)生自主探索，鼓勵(lì)學(xué)生在探究發(fā)現(xiàn)活動(dòng)中學(xué)習(xí)，從而把學(xué)習(xí)過程之中的發(fā)現(xiàn)、探究等認(rèn)識(shí)活動(dòng)突顯出來，使學(xué)習(xí)過程更多地成為學(xué)生思考、質(zhì)疑、發(fā)現(xiàn)、求證的過程，學(xué)生的能動(dòng)性、創(chuàng)造性得到了發(fā)揮，數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維得到了培養(yǎng)。

(1)讓學(xué)生學(xué)會(huì)質(zhì)疑

朱熹曾說過:“讀書無疑者，須教有疑;有疑者無疑，至此方是長進(jìn)。”教師要啟發(fā)學(xué)生提出問題，特別是提出學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)。和遇到的問題，這是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的重要途徑。質(zhì)疑習(xí)慣的培養(yǎng)，要通過教師的言傳身教來引導(dǎo)，學(xué)生從模仿開始。教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在新舊知識(shí)的銜接處、學(xué)習(xí)過程的困惑處、法則規(guī)律的結(jié)論處、教學(xué)內(nèi)容的重難點(diǎn)和關(guān)鍵處、概念的形成過程中、解題思路的分析過程中、動(dòng)手操作的實(shí)踐等方面給學(xué)生于提示、引導(dǎo)，讓學(xué)生逐步學(xué)會(huì)質(zhì)疑的基本方法，養(yǎng)成質(zhì)疑的好習(xí)慣。如教師在教學(xué)中要以積極的暗示、有明確目的的設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)反問，如“解題中的每一步你能說出理由嗎?”、“我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)。為什么還要引進(jìn)復(fù)數(shù)?”等。同時(shí)，對(duì)于學(xué)生提出的問題，教師要重在分析學(xué)生原有思路，抓住質(zhì)疑的本質(zhì)，積極尋找解決問題的奇跡，將“釋疑”的過程轉(zhuǎn)化為師生共同探索、發(fā)現(xiàn)的過程，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的提高。

(2)鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想的發(fā)現(xiàn)

猜想是由已知原理、事實(shí)，對(duì)未知現(xiàn)象及其規(guī)律所作出的一種假設(shè)的命題。在我們的數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行猜想，是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新思維，掌握探求知識(shí)方法的必要手段。我們要善于啟發(fā)、積極指導(dǎo)、熱情鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行猜想，以真正達(dá)到啟迪思維、傳授知識(shí)的目的。教學(xué)中創(chuàng)設(shè)這樣的情境讓學(xué)生積極思考，既可以調(diào)動(dòng)他們參與知識(shí)形成的過程，又可以使他們破除迷信，去掉神秘感，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的愉快。這需要教師注重挖掘教材內(nèi)容，給學(xué)生提供機(jī)會(huì)。

這樣，引導(dǎo)學(xué)生去構(gòu)造、猜想、發(fā)現(xiàn)，教學(xué)活動(dòng)才具有“思維訓(xùn)練”的意義和“發(fā)現(xiàn)”的價(jià)值，更具科學(xué)性。

五、反思回歸，優(yōu)化思維能力

解決數(shù)學(xué)問題通常有三個(gè)環(huán)節(jié):分析問題、解決問題和對(duì)問題的反思。一道數(shù)學(xué)題的解決，并不是問題的終結(jié)。在“問題解決”中，教師不能只滿足于學(xué)生能解題，而要把解決具體問題作為教學(xué)載體，教給學(xué)生數(shù)學(xué)思想的方法和解題思路，反思回歸則能使學(xué)生的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)思維更深刻。通過反思，充分掌握問題的解題思路和思想，同時(shí)在反思中對(duì)例題進(jìn)行變式思考，或者換位思考，有利于教學(xué)內(nèi)容的深化和引申，是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的有效途徑，也是當(dāng)前數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)中要引起重視的一個(gè)方面。

總之，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，要充分發(fā)揮以學(xué)生為思維主體，以教師為思維主導(dǎo)的作用，通過問題解決，滲透數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中吸收問題解決的思想，并轉(zhuǎn)化為自己的思維，從而自覺地去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、掌握數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，達(dá)到全面提高學(xué)生素質(zhì)的目的。

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